Mathematik Mittelstufe - Klasse 7

1. Zahlen und Größen (rationale Zahlen, Prozent, Zins)

1.1 Rationale Zahlen (negative Zahlen, Betrag, Ordnung)

• Lehrinhalte
  • Erweiterung des Zahlenbereichs: Einführung der rationalen Zahlen (mindestens ganze Zahlen, oft als Brüche/Dezimalzahlen mitgedacht).
  • Zahlenstrahl mit negativen Zahlen; Koordinaten auf der Zahlengeraden.
  • Vergleichen und Ordnen:
    • größer/kleiner bei negativen Zahlen.
    • Zahlenmengen auf dem Zahlenstrahl einordnen.
  • Betrag einer Zahl: $|a|$ als Abstand zu $0$.
  • Gegenzahl: zu $a$ gehört $-a$.
  • Rechnen mit ganzen Zahlen:
    • Addition/Subtraktion (Temperatur, Kontostand, Höhenangaben).
    • Multiplikation/Division mit Vorzeichenregeln.
    • Klammern und Rechenregeln in gemischten Termen.
  • Überschlag und Plausibilitätskontrolle (auch bei Vorzeichen).
• Kompetenzziele
  • Schüler ordnen rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl und vergleichen sie sicher.
  • Schüler nutzen Betrag und Gegenzahl zur Beschreibung und Lösung von Aufgaben.
  • Schüler rechnen sicher mit ganzen Zahlen (inkl. Vorzeichenregeln) und kontrollieren Ergebnisse.
  • Schüler modellieren Sachkontexte (Temperatur, Geld, Höhen) mit positiven und negativen Zahlen.

1.2 Brüche und Dezimalzahlen (Vertiefung, gemischte Rechnungen)

• Lehrinhalte
  • Vertiefung Brüche:
    • Erweitern, Kürzen, Gleichnamigmachen systematisch.
    • Umwandeln zwischen gemischten Zahlen und unechten Brüchen.
  • Rechnen mit Brüchen:
    • Addition/Subtraktion ungleichnamiger Brüche.
    • Multiplikation/Division von Brüchen (inkl. Vorzeichen in Verbindung mit rationalen Zahlen).
  • Dezimalzahlen:
    • Rechnen mit Dezimalzahlen in Sachkontexten.
    • Runden, Fehlerabschätzung und Überschlag.
  • Umwandlungen Bruch $\leftrightarrow$ Dezimalzahl in typischen Fällen; Erkennen periodischer Dezimaldarstellungen (je nach Lehrplan).
• Kompetenzziele
  • Schüler führen Rechnungen mit Brüchen und Dezimalzahlen sicher aus und wählen geeignete Darstellungen.
  • Schüler begründen Rechenschritte (z. B. Kürzen/Erweitern) und kontrollieren Ergebnisse durch Überschlag.
  • Schüler nutzen Brüche/Dezimalzahlen zur Beschreibung von Anteilen und Größen in Sachaufgaben.

1.3 Prozentrechnung (Grundbegriffe, Anwendungen)

• Lehrinhalte
  • Begriffe:
    • Grundwert $G$, Prozentwert $W$, Prozentsatz $p$.
    • Zusammenhang: $W=\dfrac{p}{100}\cdot G$.
  • Umwandlungen:
    • Prozent $\leftrightarrow$ Bruch $\leftrightarrow$ Dezimalzahl (z. B. $25\%=\dfrac{1}{4}=0{,}25$).
  • Aufgabentypen:
    • $W$ berechnen (Prozentwert).
    • $p$ berechnen (Prozentsatz).
    • $G$ berechnen (Grundwert).
  • Darstellungen und Verfahren:
    • Prozentstreifen/Diagramm, Tabellen, Dreisatz (je nach Lehrplan) als Strategie.
  • Anwendungen: Rabatte, Mehrwertsteuer, Statistiken, Prozentvergleiche.
• Kompetenzziele
  • Schüler verstehen Prozent als Verhältnis zu $100$ und verknüpfen Prozent, Bruch und Dezimalzahl.
  • Schüler lösen Standardaufgaben der Prozentrechnung sicher und wählen passende Lösungswege.
  • Schüler interpretieren Prozentangaben in Medien und Alltag (Rabatt, Anstieg, Anteil) und prüfen Plausibilität.

1.4 Zinsrechnung (Einführung/Grundlagen, je nach Bundesland)

• Lehrinhalte
  • Grundideen: Zinsen als „Prozent von Geld“ pro Zeit (typisch pro Jahr).
  • Begriffe:
    • Kapital $K$, Zinssatz $p$, Zinsen $Z$.
    • Zusammenhang: $Z=\dfrac{p}{100}\cdot K$ (für $1$ Jahr).
  • Einfache Zeitanteile (je nach Lehrplan): Monate/Tage als Bruchteile eines Jahres.
  • Anwendungen: Sparen, Kreditbeispiele, Zinseszins meist erst später; ggf. anbahnen als wiederholte Erhöhung.
• Kompetenzziele
  • Schüler berechnen einfache Zinsen als Prozentwert und interpretieren Ergebnisse in Geldkontexten.
  • Schüler unterscheiden Grundwert/Prozentwert/Zinssatz und übertragen Prozentstrategien auf Zinsaufgaben.

2. Algebra (Terme, Gleichungen, lineare Zusammenhänge)

2.1 Terme mit Variablen (Aufbau, Vereinfachen, Ausmultiplizieren)

• Lehrinhalte
  • Termbegriffe vertiefen:
    • Variable, Termwert, Gleichwertigkeit von Termen.
    • Einsetzen und Berechnen von Termwerten.
  • Vereinfachen:
    • Zusammenfassen gleichartiger Terme: $3x-2x=x$.
    • Vorzeichenklammern: $-(a-b)=-a+b$ (je nach Lehrplanumfang).
    • Distributivgesetz:
      • Ausmultiplizieren: $a(b+c)=ab+ac$.
      • Ausklammern: $ab+ac=a(b+c)$.
  • Terme mit mehreren Variablen (z. B. $2a+3b$) und Sachbezug (Formeln als Terme).
  • Rechenregeln und Klammern (Punkt-vor-Strich, Klammern als Struktur).
• Kompetenzziele
  • Schüler setzen Zahlen in Terme ein und berechnen Termwerte sicher.
  • Schüler vereinfachen Terme durch Zusammenfassen, Ausmultiplizieren und Ausklammern und begründen Schritte mit Rechengesetzen.
  • Schüler erkennen gleichwertige Terme und nutzen Umformungen zur Vereinfachung.

2.2 Lineare Gleichungen (Lösen, Probe, Sachaufgaben)

• Lehrinhalte
  • Gleichungen als Gleichheit zweier Terme.
  • Lösen linearer Gleichungen mit Äquivalenzumformungen:
    • z. B. $x+7=19$
    • z. b. $3x=24$
    • z. B. $2x-5=17$
    • z. B. $4(x-3)=20$ (je nach Lehrplan)
  • Gleichungen mit Brüchen/Dezimalzahlen (je nach Lehrplanumfang).
  • Probe durch Einsetzen; Lösungsmenge in einfacher Form.
  • Sachaufgaben: „Zahlaufgaben“, Größenaufgaben, Kosten/Preis-Aufgaben.
• Kompetenzziele
  • Schüler lösen lineare Gleichungen sicher und erklären Umformungen als äquivalente Schritte.
  • Schüler prüfen Lösungen durch Probe und erkennen typische Fehler (Vorzeichen, Klammern).
  • Schüler stellen Sachaufgaben als Gleichungen dar und interpretieren die Lösung im Kontext.

2.3 Lineare Funktionen (Einführung, je nach Lehrplan bereits in Klasse $7$)

• Lehrinhalte
  • Zuordnungen und Abhängigkeiten: Wertetabellen, Pfeildiagramme, Koordinatensystem.
  • Proportionale Zuordnungen:
    • $y=kx$
    • Graph als Gerade durch den Ursprung.
    • Proportionalitätsfaktor $k$ (Steigungsidee anbahnen).
  • Nichtproportionale lineare Zusammenhänge (je nach Lehrplan):
    • $y=mx+b$ als Struktur, Bedeutung von $b$ als Startwert.
  • Graphen zeichnen und ablesen; Achsenskalierung; Deutung im Kontext (z. B. Grundgebühr und Preis pro Einheit).
• Kompetenzziele
  • Schüler beschreiben Zuordnungen mit Tabellen, Termen und Graphen und wechseln zwischen Darstellungen.
  • Schüler erkennen proportionale Zusammenhänge, bestimmen $k$ und deuten ihn als „pro $1$“.
  • Schüler lesen lineare Graphen ab und interpretieren Steigung/Startwert in Sachzusammenhängen (falls eingeführt).

3. Geometrie (Konstruktionen, Kongruenz, Umfang/Fläche, Körper)

3.1 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

• Lehrinhalte
  • Wiederholung/Vertiefung: Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Parallelen, Senkrechten.
  • Dreieckskonstruktionen aus Vorgaben:
    • $SSS$, $SWS$, $WSW$ (typisch).
    • Konstruktion und Begründung der Eindeutigkeit.
  • Kongruenzbegriffe: kongruente Dreiecke; Kongruenzsätze als Kriterien (je nach Lehrplan explizit).
  • Konstruktionsbeschreibung (Schrittfolge, saubere Zeichnung, Beschriftung).
• Kompetenzziele
  • Schüler führen geometrische Konstruktionen sauber durch und dokumentieren Schritte nachvollziehbar.
  • Schüler nutzen Kongruenzkriterien, um Konstruktionen zu begründen und zu überprüfen.
  • Schüler erkennen typische Konstruktionsfehler (Ungenauigkeit, falsche Kreisbögen) und korrigieren sie.

3.2 Umfang und Flächeninhalte (Vertiefung und neue Figuren)

• Lehrinhalte
  • Umfangberechnungen für zusammengesetzte Figuren.
  • Flächeninhalte:
    • Rechteck: $A=a\cdot b$
    • Dreieck: $A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$
    • Parallelogramm (je nach Lehrplan in Klasse $7$): $A=g\cdot h$
    • Trapez (je nach Lehrplan in Klasse $7$): $A=\dfrac{a+c}{2}\cdot h$
  • Flächenzerlegung und Ergänzen (komplexere Figuren auf Teilflächen zurückführen).
  • Einheiten sicher:
    • $mm^2$, $cm^2$, $dm^2$, $m^2$
    • Umrechnungen, z. B. $1~dm^2=100~cm^2$
  • Sachaufgaben: Materialbedarf, Flächenvergleiche, „Rahmen vs. Fläche“.
• Kompetenzziele
  • Schüler berechnen Umfänge und Flächeninhalte grundlegender Figuren sicher und wählen passende Einheiten.
  • Schüler zerlegen zusammengesetzte Figuren in bekannte Teilfiguren und begründen die Zerlegung.
  • Schüler lösen Sachaufgaben mit Flächen/Umfängen und prüfen Ergebnisse auf Plausibilität.

3.3 Kreis (Einführung/Vertiefung, je nach Lehrplanbeginn in Klasse $7$ oder $8$)

• Lehrinhalte
  • Grundbegriffe: Mittelpunkt, Radius $r$, Durchmesser $d$.
  • Umfang und Fläche (falls eingeführt):
    • $U=2\pi r$
    • $A=\pi r^2$
    • Näherungswert für $\pi$ (z. B. $3{,}14$).
  • Konstruieren von Kreisen; Kreisbögen; einfache Anwendungen (z. B. Radumfang).
• Kompetenzziele
  • Schüler verwenden Kreisbegriffe korrekt und führen Konstruktionen aus.
  • Falls behandelt: Schüler berechnen Kreisumfang und Kreisfläche und interpretieren Ergebnisse mit Einheiten.

3.4 Körper und Rauminhalt (Volumen/Oberfläche vertiefen)

• Lehrinhalte
  • Quader/Würfel/Prisma/Zylinder (je nach Lehrplan): Netze, Schrägbilder, Ansichten.
  • Volumen:
    • Quader: $V=a\cdot b\cdot c$
    • Prisma (Grundidee): $V=G\cdot h$
    • Einheiten: $cm^3$, $dm^3$, $m^3$; Bezug: $1~dm^3=1~l$
  • Oberfläche in additiver Zerlegung (z. B. Quader über $2(ab+ac+bc)$, je nach Lehrplan formal).
  • Umrechnungen und Sachaufgaben (Tank, Verpackung, Materialbedarf).
• Kompetenzziele
  • Schüler bestimmen Volumina wichtiger Körper und wählen passende Einheiten.
  • Schüler nutzen Netze/Ansichten zur Vorstellung und zur Bestimmung von Oberflächen in einfachen Fällen.
  • Schüler lösen Sachaufgaben zu Volumen und Oberfläche und prüfen Ergebnisse.

4. Größen und Messen (Umrechnen, Zusammengesetzte Aufgaben)

4.1 Einheiten sicher umrechnen und anwenden

• Lehrinhalte
  • Längen: $mm$, $cm$, $dm$, $m$, $km$.
  • Flächen: $mm^2$, $cm^2$, $dm^2$, $m^2$.
  • Volumen: $cm^3$, $dm^3$, $m^3$; $l$, $ml$.
  • Masse: $g$, $kg$, $t$.
  • Zeit: $s$, $min$, $h$ (und Umrechnungen).
  • Zusammengesetzte Größen (je nach Lehrplan anbahnen):
    • Geschwindigkeit als $\dfrac{km}{h}$ oder $\dfrac{m}{s}$ in einfachen Kontexten.
  • Mehrschrittige Sachaufgaben mit Einheiten und Umrechnungen.
• Kompetenzziele
  • Schüler rechnen sicher mit Einheiten und führen Umrechnungen korrekt durch.
  • Schüler lösen mehrschrittige Sachaufgaben mit Größenangaben und dokumentieren Ergebnisse vollständig mit Einheiten.
  • Schüler prüfen Ergebnisse mit Überschlag und Alltagsplausibilität.

5. Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit

5.1 Daten darstellen und auswerten (Vertiefung)

• Lehrinhalte
  • Tabellen und Diagramme sicher:
    • Säulen-/Balkendiagramm, Kreisdiagramm, Liniendiagramm.
    • Skalen und Darstellungswahl kritisch betrachten.
  • Kenngrößen (typisch Ausbau):
    • arithmetisches Mittel als $ \dfrac{\text{Summe}}{\text{Anzahl}} $
    • Spannweite als Differenz von größtem und kleinstem Wert.
    • Median (je nach Lehrplanbeginn in Klasse $7$ oder später).
  • Interpretation: Vergleiche, Trends, begründete Aussagen; einfache Manipulationen durch Skalen diskutieren.
• Kompetenzziele
  • Schüler lesen und erstellen Diagramme sicher und beachten Skalierungen.
  • Schüler berechnen Kenngrößen (mindestens Mittelwert und Spannweite) und interpretieren sie im Kontext.
  • Schüler beurteilen Aussagen anhand von Daten und argumentieren datenbasiert.

5.2 Wahrscheinlichkeit (Grundbegriffe, einfache Berechnungen)

• Lehrinhalte
  • Ergebnisraum und Ereignis; günstige und mögliche Fälle.
  • Laplace-Wahrscheinlichkeit in einfachen Fällen:
    • $P(E)=\dfrac{\text{günstige Fälle}}{\text{mögliche Fälle}}$
  • Darstellungen:
    • Baumdiagramm in sehr einfachen Situationen (je nach Lehrplanbeginn).
    • Tabellen/Listen für Ergebnisräume.
  • Relative Häufigkeit vs. Wahrscheinlichkeit; Experimentieren, Protokollieren, Auswerten.
  • Anwendungen: Würfel, Münze, Urnen, Glücksrad.
• Kompetenzziele
  • Schüler bestimmen Wahrscheinlichkeiten in einfachen Laplace-Situationen als Bruch und interpretieren sie.
  • Schüler beschreiben Ergebnisräume systematisch und nutzen passende Darstellungen.
  • Schüler unterscheiden theoretische Wahrscheinlichkeit und experimentelle Häufigkeit und begründen Aussagen vorsichtig.

6. Prozessbezogene Kompetenzen (durchgängig)

6.1 Problemlösen

• Lehrinhalte
  • Komplexere Aufgaben analysieren, Teilprobleme formulieren, Strategien auswählen (Skizze, Tabelle, Rückwärtsarbeiten, systematisches Suchen).
  • Ergebnisse prüfen: Überschlag, Probe, Vergleich mit Größenordnung.
• Kompetenzziele
  • Schüler lösen Probleme planvoll, dokumentieren Lösungswege und prüfen Ergebnisse systematisch.
  • Schüler vergleichen Lösungsstrategien und wählen effiziente Vorgehensweisen.

6.2 Argumentieren

• Lehrinhalte
  • Begründungen zu Umformungen (Terme/Gleichungen), geometrischen Konstruktionen, Flächenzerlegungen, Dateninterpretation.
  • Aussagen prüfen (wahr/falsch) mit Beispielen und Gegenbeispielen.
• Kompetenzziele
  • Schüler begründen Vorgehensweisen nachvollziehbar und nutzen passende mathematische Argumente.
  • Schüler prüfen Behauptungen kritisch und stützen Entscheidungen mit Beispielen/Gegenbeispielen.

6.3 Modellieren

• Lehrinhalte
  • Sachkontexte in Terme/Gleichungen/Funktionsbezüge übersetzen und Ergebnisse zurückdeuten.
  • Umgang mit Einheiten, Randbedingungen, sinnvoller Rundung.
• Kompetenzziele
  • Schüler erstellen passende Modelle, lösen sie und interpretieren Ergebnisse realitätsgerecht.
  • Schüler reflektieren Annahmen und Grenzen des Modells.

6.4 Darstellen

• Lehrinhalte
  • Darstellungen: Zahlenstrahl, Termstrukturen, Gleichungsumformungen, Tabellen, Graphen, Diagramme, Skizzen, Netze.
  • Darstellungswechsel: Text → Term/Gleichung → Rechnung → Interpretation; Tabelle ↔ Graph ↔ Term.
• Kompetenzziele
  • Schüler wählen passende Darstellungen und nutzen sie zur Lösung, Begründung und Kontrolle.
  • Schüler dokumentieren Ergebnisse so, dass andere sie nachvollziehen können.

6.5 Kommunizieren

• Lehrinhalte
  • Fachsprache sicher verwenden; Lösungswege strukturiert präsentieren.
  • Rückfragen stellen, Kritik begründen, Darstellungen präzisieren.
• Kompetenzziele
  • Schüler erklären mathematische Vorgehensweisen klar, präzise und fachsprachlich korrekt.
  • Schüler reagieren auf Rückfragen und verbessern Lösungen anhand von Feedback.