Oberstufe Klasse 11 - Ableitungsregeln

1. Grundidee der Ableitung

Die Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion.

Sie entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen.

2. Definition der Ableitung

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$.

Dies ist der Differentialquotient.

3. Ableitung konstanter Funktionen

Ist $f(x) = c$, dann gilt:

$f'(x) = 0$.

4. Faktorregel

Ist $f(x) = c \cdot g(x)$, dann gilt:

$f'(x) = c \cdot g'(x)$.

5. Summenregel

Ist $f(x) = g(x) + h(x)$, dann gilt:

$f'(x) = g'(x) + h'(x)$.

6. Differenzregel

Ist $f(x) = g(x) - h(x)$, dann gilt:

$f'(x) = g'(x) - h'(x)$.

7. Potenzregel

Ist $f(x) = x^n$, dann gilt:

$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$.

8. Erweiterte Potenzregel

Ist $f(x) = (g(x))^n$, dann gilt:

$f'(x) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$.

9. Produktregel

Ist $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, dann gilt:

$f'(x) = g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x)$.

10. Quotientenregel

Ist $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$, dann gilt:

$f'(x) = \dfrac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h'(x)}{(h(x))^2}$.

11. Kettenregel

Ist $f(x) = g(h(x))$, dann gilt:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

12. Ableitung der Exponentialfunktion

$\dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x$.

$\dfrac{d}{dx}(a^x) = a^x \cdot \ln(a)$.

13. Ableitung der Logarithmusfunktion

$\dfrac{d}{dx}(\ln(x)) = \dfrac{1}{x}$.

$\dfrac{d}{dx}(\log_a(x)) = \dfrac{1}{x \ln(a)}$.

14. Ableitung trigonometrischer Funktionen

$\dfrac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$.

$\dfrac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$.

$\dfrac{d}{dx}(\tan(x)) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}$.

15. Ableitung von Wurzelfunktionen

$\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

16. Höhere Ableitungen

$f''(x)$ ist die zweite Ableitung.

$f'''(x)$ ist die dritte Ableitung.

Allgemein: $f^{(n)}(x)$ ist die $n$-te Ableitung.

17. Ableitung impliziter Funktionen (Grundidee)

Bei Gleichungen wird nach $y$ abgeleitet.

Beispiel: $y^2 = x$.

18. Ableitung von Verkettungen

Innere Funktion ableiten und mit äußerer Ableitung multiplizieren.

19. Zusammenhang mit Tangenten

$f'(x_0)$ ist die Steigung der Tangente im Punkt $x_0$.

20. Zusammenhang mit Monotonie

$f'(x) > 0 \Rightarrow$ Funktion steigt.

$f'(x) < 0 \Rightarrow$ Funktion fällt.

21. Zusammenhang mit Extremstellen

$f'(x_0) = 0$ → mögliche Extremstelle.

22. Zusammenhang mit Krümmung

$f''(x) > 0$ → konvex.

$f''(x) < 0$ → konkav.

23. Zusammenhang mit Wendestellen

$f''(x_0) = 0$ → mögliche Wendestelle.

24. Linearkombinationen

Ableitung von $a f(x) + b g(x)$ ist:

$a f'(x) + b g'(x)$.

25. Typische Vorgehensweise

Funktion analysieren.

Regeln auswählen.

Schrittweise ableiten.

26. Typische Fehler

Kettenregel vergessen.

Produktregel falsch angewendet.

Vorzeichenfehler.

Falsche Ableitung von Potenzen.

27. Wichtige Merksätze

Ableitung ist Änderungsrate.

Regeln vereinfachen das Ableiten.

Kombination mehrerer Regeln oft notwendig.

28. Kurzüberblick

Summenregel.

Produktregel.

Quotientenregel.

Kettenregel.

Potenzregel.