Der Definitionsbereich $D$ einer Funktion ist die Menge aller $x$-Werte, für die $f(x)$ definiert ist.
$D_f$ oder kurz $D$.
Beispiel: $D = \mathbb{R}$.
Alle Werte ausschließen, für die der Funktionsterm nicht definiert ist.
Der Definitionsbereich ergibt sich aus den Einschränkungen des Terms.
Für $f(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ gilt:
$D = \mathbb{R}$.
Für $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$ gilt:
$h(x) \neq 0$.
Alle Nullstellen des Nenners werden ausgeschlossen.
$f(x) = \dfrac{1}{x-2}$.
$D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
Bei geradem Wurzelexponenten gilt:
$\sqrt{g(x)}$ ist nur definiert für $g(x) \geq 0$.
$f(x) = \sqrt{x-3}$.
$x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$.
$D = [3,\infty)$.
$\ln(g(x))$ ist nur definiert für:
$g(x) > 0$.
$f(x) = \ln(x-1)$.
$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$.
$f(x) = a^x$ ist für alle $x \in \mathbb{R}$ definiert.
$f(x) = x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$: $D = \mathbb{R}$.
Für $n < 0$: $x \neq 0$.
$\sin(x), \cos(x)$: $D = \mathbb{R}$.
$\tan(x)$: nicht definiert für $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
Alle Bedingungen der inneren und äußeren Funktion müssen erfüllt sein.
Der Definitionsbereich ist die Schnittmenge aller zulässigen Werte.
Beispiel: $[a,b]$, $(a,b)$, $(-\infty,a)$, $(b,\infty)$.
$D = \mathbb{R} \setminus \{x_1,x_2\}$.
$D = (-\infty,a) \cup (a,\infty)$.
Der Graph existiert nur für $x \in D$.
Lücken entsprechen ausgeschlossenen Werten.
Unstetigkeiten können an Randpunkten des Definitionsbereichs auftreten.
Nullstellen des Nenners erzeugen Definitionslücken.
Negative Werte sind bei geraden Wurzeln nicht erlaubt.
Argument muss strikt positiv sein.
Schritt $1$: Funktion analysieren.
Schritt $2$: Bedingungen aufstellen.
Schritt $3$: Ungleichungen lösen.
Schritt $4$: Schnittmenge bilden.
Bestimmung des Definitionsbereichs.
Untersuchung von Einschränkungen.
Graphische Interpretation.
Nullstellen des Nenners nicht ausgeschlossen.
Ungleichungen falsch gelöst.
Logarithmusbedingung vergessen.
Nenner $\neq 0$.
Wurzelinhalt $\geq 0$.
Logarithmusargument $> 0$.
$f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}$.
Bedingungen: $x-1 \geq 0$ und $x \neq 2$.
$D = [1,\infty) \setminus \{2\}$.
Der Definitionsbereich legt fest, welche Werte sinnvoll sind.
Er ist Grundlage jeder Funktionsuntersuchung.
$D$ = alle erlaubten $x$-Werte.
Bestimmung durch Ausschluss verbotener Werte.
Wichtig für alle weiteren Berechnungen.