Das Differential beschreibt die lineare, also näherungsweise Änderung einer Funktion bei einer kleinen Änderung der unabhängigen Variablen.
Es ist ein zentrales Hilfsmittel der Differentialrechnung.
Das Differential verknüpft die Ableitung $f'(x)$ mit einer kleinen Änderung $dx$ der Variablen $x$.
Damit kann die Änderung des Funktionswertes näherungsweise berechnet werden.
Gegeben ist eine Funktion $y = f(x)$.
Die Variable $x$ werde um einen kleinen Wert $dx$ verändert.
Dann ändert sich auch der Funktionswert $y$.
Die tatsächliche Änderung des Funktionswertes heißt $\Delta y$.
Es gilt: $\Delta y = f(x+dx) - f(x)$.
Das Differential der unabhängigen Variablen ist $dx$.
Das Differential der abhängigen Variablen $y = f(x)$ ist definiert durch $dy = f'(x) \cdot dx$.
Das Differential $dy$ ist also das Produkt aus Ableitung und kleiner Änderung $dx$.
Es beschreibt die lineare Näherung für die tatsächliche Änderung $\Delta y$.
$dx$ heißt Differential von $x$.
$dy$ heißt Differential von $y$.
$dy = f'(x) \cdot dx$ heißt Differentialgleichung der linearen Näherung an der Stelle $x$.
Die Ableitung ist definiert durch $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Setzt man $dx = h$, dann gilt für kleine $dx$: $\dfrac{\Delta y}{dx} \approx f'(x)$.
Daraus folgt näherungsweise: $\Delta y \approx f'(x) \cdot dx$.
Genau diese lineare Näherung ist das Differential: $dy = f'(x) \cdot dx$.
Die tatsächliche Änderung ist $\Delta y = f(x+dx) - f(x)$.
Das Differential ist $dy = f'(x) \cdot dx$.
Im Allgemeinen gilt: $\Delta y \neq dy$.
Für kleine Werte von $dx$ gilt jedoch: $\Delta y \approx dy$.
Je kleiner $dx$ ist, desto besser ist meist die Näherung $\Delta y \approx dy$.
Das Differential $dy$ ist die durch die Tangente angenäherte Änderung des Funktionswertes.
Die tatsächliche Änderung $\Delta y$ wird durch die Funktion selbst bestimmt.
Das Differential $dy$ wird durch die Tangente im betrachteten Punkt bestimmt.
Die Ableitung $f'(x)$ ist die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt $(x,f(x))$.
Wird $x$ um $dx$ verändert, dann gibt die Tangente die angenäherte Höhenänderung $dy$ an.
Geometrisch ist $dy$ also der vertikale Anstieg auf der Tangente bei horizontaler Änderung $dx$.
Damit ist $dy$ die lineare Näherung der vertikalen Änderung des Graphen.
Für kleine Änderungen gilt: $f(x+dx) \approx f(x) + dy$.
Da $dy = f'(x) \cdot dx$ ist, folgt: $f(x+dx) \approx f(x) + f'(x)\cdot dx$.
Dies ist die lineare Approximation einer Funktion.
Sie entspricht der Tangentennäherung.
Die Tangente an den Graphen im Punkt $(x_0,f(x_0))$ hat die Gleichung $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.
Setzt man $dx = x-x_0$, dann folgt: $y \approx f(x_0) + f'(x_0)\cdot dx$.
Der Zusatzterm $f'(x_0)\cdot dx$ ist das Differential $dy$.
Das Differential ist also direkt mit der Tangentengleichung verknüpft.
Für eine feste Stelle $x_0$ und eine kleine Änderung $dx$ gilt: $dy = f'(x_0)\cdot dx$.
Die zugehörige tatsächliche Änderung lautet: $\Delta y = f(x_0+dx)-f(x_0)$.
Die lineare Näherung lautet dann: $\Delta y \approx dy$.
Oder gleichwertig: $f(x_0+dx) \approx f(x_0) + f'(x_0)\cdot dx$.
Die Funktion $f$ muss an der betrachteten Stelle $x$ definiert sein.
Die Ableitung $f'(x)$ muss an dieser Stelle existieren, wenn das Differential gebildet werden soll.
Für eine gute Näherung soll $dx$ klein sein.
Ohne Differenzierbarkeit ist die Formel $dy = f'(x)\cdot dx$ nicht anwendbar.
Ist $y = f(x)$, dann ist $dy = f'(x)\cdot dx$.
Ist $u = g(t)$, dann ist $du = g'(t)\cdot dt$.
Allgemein gilt: Das Differential der abhängigen Variablen ist Ableitung mal Differential der unabhängigen Variablen.
Für $f(x) = mx+b$ gilt $f'(x) = m$.
Daher ist $dy = m \cdot dx$.
Hier stimmt die tatsächliche Änderung immer exakt mit dem Differential überein.
Also gilt bei linearen Funktionen: $\Delta y = dy$.
Für $f(x) = x^n$ gilt $f'(x) = n x^{n-1}$.
Daher ist $dy = n x^{n-1}\cdot dx$.
Beispiel: Für $f(x)=x^2$ gilt $dy = 2x \cdot dx$.
Beispiel: Für $f(x)=x^3$ gilt $dy = 3x^2 \cdot dx$.
Für $f(x)=x^2$ gilt $dy = 2x \cdot dx$.
Für $f(x)=x^3$ gilt $dy = 3x^2 \cdot dx$.
Für $f(x)=\sqrt{x}$ gilt $dy = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \cdot dx$ für $x > 0$.
Für $f(x)=\dfrac{1}{x}$ gilt $dy = -\dfrac{1}{x^2}\cdot dx$ für $x \neq 0$.
Für $f(x)=e^x$ gilt $dy = e^x \cdot dx$.
Für $f(x)=\ln(x)$ gilt $dy = \dfrac{1}{x}\cdot dx$ für $x > 0$.
Ist $f'(x) > 0$ und $dx > 0$, dann gilt $dy > 0$.
Ist $f'(x) < 0$ und $dx > 0$, dann gilt $dy < 0$.
Ist $dx < 0$, dann kehrt sich das Vorzeichen entsprechend um.
Das Vorzeichen von $dy$ hängt also von $f'(x)$ und $dx$ ab.
Gilt $f'(x)=0$, dann ist $dy = 0 \cdot dx = 0$.
Die Tangente ist dort waagerecht.
Die lineare Näherung sagt also in erster Ordnung keine Änderung des Funktionswertes voraus.
Trotzdem kann die tatsächliche Änderung $\Delta y$ ungleich $0$ sein.
Das Differential liefert keinen exakten, sondern meist einen angenäherten Wert für die Funktionsänderung.
Die Näherung ist umso besser, je kleiner $dx$ ist und je glatter sich die Funktion in der Umgebung verhält.
In Schulaufgaben wird daher häufig mit kleinen Änderungen gerechnet.
Bestimme zuerst die Funktion $f(x)$.
Bestimme dann die Ableitung $f'(x)$.
Setze die betrachtete Stelle $x_0$ ein.
Bestimme die kleine Änderung $dx$.
Berechne anschließend $dy = f'(x_0)\cdot dx$.
Nutze dann $\Delta y \approx dy$ oder $f(x_0+dx) \approx f(x_0)+dy$.
Tatsächliche Änderung: $\Delta y = f(x+dx)-f(x)$
Differential: $dy = f'(x)\cdot dx$
Näherung der Änderung: $\Delta y \approx dy$
Näherung des Funktionswertes: $f(x+dx) \approx f(x)+f'(x)\cdot dx$
Das Differential ist in $dx$ linear.
Wird $dx$ verdoppelt, dann verdoppelt sich auch $dy$.
Es gilt: $dy = f'(x)\cdot dx$.
Damit ist $dy$ proportional zu $dx$.
Mit Differentialen können schwer zu berechnende Funktionswerte näherungsweise bestimmt werden.
Man verwendet: $f(x+dx) \approx f(x)+f'(x)\cdot dx$.
Dies ist besonders nützlich bei Wurzeln, Potenzen, Exponential- und Logarithmusfunktionen.
Sei $f(x)=\sqrt{x}$.
Dann gilt $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
Also ist $dy = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot dx$.
Damit folgt: $\sqrt{x+dx} \approx \sqrt{x} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot dx$.
Das Differential ist eine Näherung erster Ordnung.
Es erfasst die lineare Änderung, aber nicht die Krümmung des Graphen.
Daher entsteht im Allgemeinen ein Näherungsfehler.
Dieser Fehler wird für kleine $dx$ meist klein.
In Anwendungen beschreibt $dx$ oft einen kleinen Messfehler der Größe $x$.
Dann gibt $dy = f'(x)\cdot dx$ den angenäherten Fehler des Funktionswertes an.
Das Differential wird daher zur Fehlerabschätzung verwendet.
Ist der Fehler der Eingangsgröße ungefähr $dx$, dann ist der Fehler der Ausgangsgröße ungefähr $dy$.
Man schreibt häufig: $\Delta y \approx dy$.
Damit kann man abschätzen, wie stark sich der Funktionswert durch kleine Eingabefehler ändert.
Das Differential $dx$ hat dieselbe Einheit wie $x$.
Das Differential $dy$ hat dieselbe Einheit wie $y$.
Da $dy = f'(x)\cdot dx$ gilt, ergibt sich die Einheit korrekt aus dem Produkt von Ableitung und $dx$.
Die Ableitung $f'(x)$ hat die Einheit $\dfrac{\text{Einheit von } y}{\text{Einheit von } x}$.
Multipliziert man mit $dx$, so erhält man die Einheit von $y$.
Daher passt $dy$ als angenäherte Änderung von $y$ auch inhaltlich und einheitlich.
Ist $y=f(u)$ und $u=g(x)$, dann gilt formal $dy = \dfrac{dy}{du}\cdot du$ und $du = g'(x)\cdot dx$.
Daraus folgt $dy = \dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\cdot dx$.
Im Schulunterricht wird dies als anschaulicher Zusammenhang zur Kettenregel verwendet.
In üblicher Schreibweise gilt dann $dy = f'(g(x))\cdot g'(x)\cdot dx$.
Ist $y = u(x)\cdot v(x)$, dann gilt $y' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.
Daraus folgt für das Differential: $dy = \left(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\right)\cdot dx$.
Man kann auch schreiben: $dy = v \cdot du + u \cdot dv$.
Ist $y = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ mit $v(x)\neq 0$, dann gilt $y' = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}$.
Daraus folgt: $dy = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\cdot dx$.
Das Differential ist nicht einfach nur eine beliebige Differenz.
Es ist auch nicht identisch mit dem Differenzenquotienten.
Der Differenzenquotient beschreibt eine mittlere Änderungsrate.
Das Differential beschreibt eine lineare angenäherte Änderung an einer festen Stelle.
Der Differentialquotient ist die Ableitung $f'(x)$.
Das Differential ist $dy = f'(x)\cdot dx$.
Also ist der Differentialquotient die Änderungsrate.
Das Differential ist die damit berechnete angenäherte Änderung.
Bestimme das Differential $dy$ an der Stelle $x_0$ für $dx = \dots$
Nähere die Funktionsänderung mit dem Differential an.
Schätze den Wert von $f(x+dx)$ mithilfe des Differentials ab.
Bestimme den Fehler mithilfe des Differentials.
Schritt $1$: Funktion angeben.
Schritt $2$: Ableitung berechnen.
Schritt $3$: Stelle $x_0$ einsetzen.
Schritt $4$: Änderung $dx$ einsetzen.
Schritt $5$: $dy = f'(x_0)\cdot dx$ berechnen.
Schritt $6$: Falls verlangt, $f(x_0+dx) \approx f(x_0)+dy$ verwenden.
$dy$ und $\Delta y$ werden verwechselt.
Es wird vergessen, dass $dy$ nur eine Näherung für $\Delta y$ ist.
Es wird $f(x+dx)-f(x)$ berechnet und fälschlich direkt als Differential bezeichnet.
Die Stelle $x_0$ wird in $f'(x)$ nicht eingesetzt.
Das Vorzeichen von $dx$ wird falsch übernommen.
Die Voraussetzung einer kleinen Änderung wird übersehen.
Das Differential ist definiert durch $dy = f'(x)\cdot dx$.
Das Differential ist die lineare Näherung der tatsächlichen Änderung $\Delta y$.
Für kleine Änderungen gilt: $\Delta y \approx dy$.
Für kleine Änderungen gilt außerdem: $f(x+dx) \approx f(x)+f'(x)\cdot dx$.
Geometrisch wird die Funktion durch ihre Tangente angenähert.
Regel $1$: $dx$ ist eine kleine Änderung der Variablen $x$.
Regel $2$: $dy = f'(x)\cdot dx$.
Regel $3$: $\Delta y = f(x+dx)-f(x)$.
Regel $4$: $\Delta y \approx dy$ für kleine $dx$.
Regel $5$: $f(x+dx)\approx f(x)+dy$.
Regel $6$: Das Differential beruht auf der Tangentensteigung $f'(x)$.
Das Differential verbindet die Ableitung, die Tangente, die lokale lineare Näherung und die angenäherte Funktionsänderung.