Der Differenzenquotient beschreibt die mittlere Änderungsrate einer Funktion.
Er gibt an, wie sich der Funktionswert $f(x)$ im Intervall verändert.
Geometrisch entspricht er der Steigung einer Sekante.
Gegeben: $f(x)$ und $x_1 \neq x_2$
Definition: $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
Bedeutung: mittlere Änderungsrate im Intervall $[x_1,x_2]$
Setze: $h = x_2 - x_1$
Dann gilt: $\dfrac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h}$
Voraussetzung: $h \neq 0$
Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch die Punkte $(x_1,f(x_1))$ und $(x_2,f(x_2))$.
Allgemein: $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
Interpretation: durchschnittliche Änderung von $f(x)$ pro Einheit in $x$.
Grenzübergang: $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Dies ist die Definition der Ableitung $f'(x)$.
$\Delta x = x_2 - x_1$
$\Delta y = f(x_2) - f(x_1)$
Differenzenquotient: $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
$x_1 \neq x_2$
$h \neq 0$
$f$ muss an den betrachteten Stellen definiert sein.
Einheit: $\dfrac{\text{Einheit von } f(x)}{\text{Einheit von } x}$
Beispiel: $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ bei Weg-Zeit-Funktion.
Berechnung der mittleren Geschwindigkeit: $\dfrac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$
Bestimmung der Sekantensteigung
Vorbereitung der Ableitung