Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form $f(x) = a^x$ mit $a > 0$ und $a \neq 1$.
Die Variable $x$ steht im Exponenten.
Die Basis $a$ ist eine feste positive Zahl.
Definitionsbereich: $D = \mathbb{R}$.
Wertebereich: $W = (0,\infty)$.
Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f(x) > 0$.
$f(0) = a^0 = 1$.
$f(1) = a^1 = a$.
Die Funktion besitzt keine Nullstellen.
Die Funktion ist streng monoton.
Für $a > 1$ ist $f(x) = a^x$ streng monoton steigend.
Für $0 < a < 1$ ist $f(x) = a^x$ streng monoton fallend.
Für $a > 1$ gilt: $\lim_{x \to \infty} a^x = \infty$.
Für $a > 1$ gilt: $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$.
Für $0 < a < 1$ gilt: $\lim_{x \to \infty} a^x = 0$.
Für $0 < a < 1$ gilt: $\lim_{x \to -\infty} a^x = \infty$.
Die $x$-Achse ist eine waagerechte Asymptote.
Es gilt: $y = 0$ ist Asymptote.
Allgemein: $\dfrac{d}{dx}(a^x) = a^x \cdot \ln(a)$.
Spezialfall: $\dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x$.
Die natürliche Exponentialfunktion ist $f(x) = e^x$ mit $e \approx 2{,}718$.
Sie ist ihre eigene Ableitung.
Sie ist streng monoton steigend.
Es gilt: $a^x = e^{x \cdot \ln(a)}$.
Dies ermöglicht die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel.
$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.
$a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$.
$(a^x)^y = a^{xy}$.
$a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$.
Gleichungen der Form $a^x = b$ können durch Logarithmieren gelöst werden.
Es gilt: $x = \dfrac{\ln(b)}{\ln(a)}$.
Spezialfall: $e^x = b \Rightarrow x = \ln(b)$.
Die Umkehrfunktion von $f(x) = a^x$ ist $f^{-1}(x) = \log_a(x)$.
Für $a = e$ gilt: $\ln(x)$ ist die Umkehrfunktion von $e^x$.
$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$.
$\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$.
$\log_a(x^r) = r \cdot \log_a(x)$.
Allgemeine Form: $f(x) = a^{x-c} + d$.
$c$ bewirkt eine Verschiebung in $x$-Richtung.
$d$ bewirkt eine Verschiebung in $y$-Richtung.
Allgemeine Form: $f(x) = k \cdot a^x$.
$k$ ist ein Streckfaktor.
Für $k < 0$ erfolgt zusätzlich eine Spiegelung an der $x$-Achse.
$f(x) = k \cdot a^{x-c} + d$.
Dies ist die vollständig transformierte Exponentialfunktion.
$y$-Achsenabschnitt: $f(0) = k \cdot a^{-c} + d$.
Nullstellen können durch Gleichung $k \cdot a^{x-c} + d = 0$ bestimmt werden.
Wachstum: $f(t) = a \cdot e^{kt}$ mit $k > 0$.
Zerfall: $f(t) = a \cdot e^{kt}$ mit $k < 0$.
$a$ ist der Anfangswert.
Die Verdopplungszeit $T$ erfüllt: $e^{kT} = 2$.
Daraus folgt: $T = \dfrac{\ln(2)}{k}$.
Die Halbwertszeit $T$ erfüllt: $e^{kT} = \dfrac{1}{2}$.
Daraus folgt: $T = \dfrac{\ln(1/2)}{k}$.
Allgemein: $f(t) = a \cdot b^t$.
$a$ ist der Anfangswert.
$b$ ist der Wachstumsfaktor.
$b = 1 + p$ mit Wachstumsrate $p$.
Bei Prozentangaben: $b = 1 + \dfrac{p}{100}$.
$b = e^k$.
Daraus folgt: $k = \ln(b)$.
Der Graph verläuft oberhalb der $x$-Achse.
Er ist nach oben gekrümmt (konvex).
Er besitzt keine Extrempunkte.
Für $f(x) = a^x$ gilt: $f''(x) > 0$.
Die Funktion ist streng konvex.
Exponentialfunktionen besitzen keine Achsensymmetrie.
Es gilt jedoch: $a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$.
Die Tangente im Punkt $x_0$ hat die Gleichung:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.
Mit $f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a)$.
Monotonie über $f'(x)$ bestimmen.
Krümmung über $f''(x)$ bestimmen.
Tangenten berechnen.
Bestimmen von Funktionsgleichungen aus gegebenen Punkten.
Lösen von Exponentialgleichungen.
Bestimmen von Wachstums- und Zerfallsprozessen.
Berechnen von Verdopplungs- und Halbwertszeiten.
Exponentialfunktionen haben die Variable im Exponenten.
Sie sind stets positiv.
Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung.
Exponentielle Prozesse modellieren Wachstum und Zerfall.