Eine Extremstelle ist eine Stelle $x_0$, an der eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum besitzt.
Der zugehörige Punkt $(x_0,f(x_0))$ heißt Extrempunkt.
Lokales Maximum: größter Funktionswert in einer Umgebung von $x_0$.
Lokales Minimum: kleinster Funktionswert in einer Umgebung von $x_0$.
Globales Maximum: größter Funktionswert im gesamten Definitionsbereich.
Globales Minimum: kleinster Funktionswert im gesamten Definitionsbereich.
Ist $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und besitzt dort ein Extremum, dann gilt:
$f'(x_0) = 0$.
Solche Stellen heißen kritische Stellen oder stationäre Stellen.
Kritische Stellen sind Stellen, an denen gilt:
$f'(x) = 0$ oder $f'(x)$ existiert nicht.
Nur an diesen Stellen können Extremstellen liegen.
Ist $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) > 0$, dann liegt ein lokales Minimum vor.
Ist $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) < 0$, dann liegt ein lokales Maximum vor.
Ist $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) = 0$, dann ist keine Entscheidung möglich.
Es kann ein Extrempunkt oder ein Wendepunkt vorliegen.
Weitere Untersuchungen sind notwendig.
Wechselt $f'(x)$ von positiv zu negativ bei $x_0$, dann liegt ein Maximum vor.
Wechselt $f'(x)$ von negativ zu positiv bei $x_0$, dann liegt ein Minimum vor.
Ohne Vorzeichenwechsel liegt kein Extremum vor.
Vor einem Maximum ist die Funktion steigend, danach fallend.
Vor einem Minimum ist die Funktion fallend, danach steigend.
In einer Extremstelle ist die Tangente waagerecht.
Es gilt: Steigung $f'(x_0) = 0$.
Schritt $1$: Bestimme die Funktion $f(x)$.
Schritt $2$: Berechne die erste Ableitung $f'(x)$.
Schritt $3$: Setze $f'(x) = 0$ und bestimme die Lösungen $x_0$.
Schritt $4$: Bestimme die zweite Ableitung $f''(x)$.
Schritt $5$: Setze $x_0$ in $f''(x)$ ein.
Schritt $6$: Klassifiziere Maximum oder Minimum.
Schritt $7$: Berechne den Funktionswert $f(x_0)$.
Der Extrempunkt hat die Koordinaten $(x_0,f(x_0))$.
Bei abgeschlossenen Intervallen müssen auch Randpunkte geprüft werden.
Vergleiche alle Funktionswerte an kritischen Stellen und Randpunkten.
Für $x=a$ und $x=b$ gilt:
Berechne $f(a)$ und $f(b)$.
Vergleiche mit den Extremwerten im Inneren.
Für $f(x)=x^2$ gilt $f'(x)=2x$.
$f'(x)=0 \Rightarrow x_0=0$.
$f''(x)=2$.
$f''(0)=2>0 \Rightarrow$ Minimum bei $x_0=0$.
Hochpunkt: lokales Maximum.
Tiefpunkt: lokales Minimum.
Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn $f'(x_0)=0$ und kein Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ erfolgt.
Oft gilt zusätzlich $f''(x_0)=0$.
Der Graph hat dort eine waagerechte Tangente ohne Extremum.
Ein Wendepunkt kann auch eine waagerechte Tangente besitzen.
Dann gilt $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)=0$.
Zusätzlich ist ein Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ notwendig.
Hat $f'(x)$ eine doppelte Nullstelle, liegt oft kein Extremum vor.
Hat $f'(x)$ eine einfache Nullstelle, liegt meist ein Extremum vor.
Bei einem Minimum ist der Graph nach oben gekrümmt ($f''(x)>0$).
Bei einem Maximum ist der Graph nach unten gekrümmt ($f''(x)<0$).
$f$ muss differenzierbar sein für die Anwendung der Ableitungsregeln.
Für das Kriterium der zweiten Ableitung muss $f''(x)$ existieren.
Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten.
Untersuchung von Funktionen auf Extremstellen.
Optimierungsprobleme.
Zielfunktion aufstellen.
Ableitung bilden und Nullstellen bestimmen.
Extremwert interpretieren.
Gesucht ist ein maximaler oder minimaler Funktionswert.
Verwendung der Ableitungsregeln zur Bestimmung.
Extremstellen sind Hoch- und Tiefpunkte im Graphen.
Dort wechselt das Steigungsverhalten.
$f'(x_0)=0$ ist notwendige Bedingung.
$f''(x_0)\neq 0$ entscheidet über Maximum oder Minimum.
Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ bestätigt das Extremum.
Notwendig: $f'(x_0)=0$.
Hinreichend: $f''(x_0) \neq 0$.
Alternativ: Vorzeichenwechsel von $f'(x)$.
Extremstellen bestimmen das qualitative Verhalten des Graphen.
Sie sind entscheidend für Kurvendiskussionen.
Vergessen der zweiten Ableitung.
Keine Prüfung des Vorzeichenwechsels.
Randpunkte werden nicht berücksichtigt.
$f'(x)=0$ wird fälschlich immer als Extremstelle interpretiert.
Extremstellen sind zentrale Elemente der Differentialrechnung.
Sie ermöglichen die Analyse und Optimierung von Funktionen.