Unter Verknüpfung von Funktionen versteht man die Bildung neuer Funktionen aus gegebenen Funktionen durch Rechenoperationen.
Typische Verknüpfungen sind Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Verkettung.
Seien $f(x)$ und $g(x)$ zwei Funktionen mit Definitionsbereichen $D_f$ und $D_g$.
Neue Funktionen entstehen durch Kombination dieser Funktionen.
Definition: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$.
Definitionsbereich: $D = D_f \cap D_g$.
Der Funktionswert ist die Summe der Einzelwerte.
Definition: $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$.
Definitionsbereich: $D = D_f \cap D_g$.
Der Funktionswert ist die Differenz der Einzelwerte.
Definition: $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Definitionsbereich: $D = D_f \cap D_g$.
Der Funktionswert ist das Produkt der Einzelwerte.
Definition: $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.
Definitionsbereich: $D = \{x \in D_f \cap D_g \mid g(x) \neq 0\}$.
Division durch $0$ ist nicht erlaubt.
Definition: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
Zuerst wird $g(x)$ berechnet, anschließend wird das Ergebnis in $f$ eingesetzt.
$D = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$.
Die innere Funktion muss Werte im Definitionsbereich der äußeren Funktion liefern.
Allgemein gilt: $f(g(x)) \neq g(f(x))$.
Die Reihenfolge ist entscheidend.
Sei $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+1$.
Dann gilt: $(f \circ g)(x) = (x+1)^2$.
Und: $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$.
Definition: $(f(x))^n$ bedeutet $f(x)$ wird potenziert.
Beispiel: $(f(x))^2 = (f(x)) \cdot (f(x))$.
Allgemeine Form: $h(x) = a \cdot f(x) + b \cdot g(x)$.
$a,b \in \mathbb{R}$ sind Konstanten.
Dies ist eine gewichtete Verknüpfung.
Definition: $(k \cdot f)(x) = k \cdot f(x)$.
Der Graph wird in $y$-Richtung gestreckt oder gestaucht.
$f(x)+d$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.
$f(x-c)$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
Jede Verknüpfung entspricht einer algebraischen Operation auf Funktionstermen.
Beispiel: $h(x) = (x^2 + 1)\cdot (x-3)$.
$(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$.
Dies ist die Summenregel.
$(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)$.
$(f \cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$.
Dies ist die Produktregel.
$\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$.
Dies ist die Quotientenregel.
$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Dies ist die Kettenregel.
Innere Funktion zuerst berechnen.
Dann äußere Funktion anwenden.
Bei Ableitungen zusätzlich die Kettenregel verwenden.
Bestimmung von zusammengesetzten Funktionen.
Berechnung von Ableitungen verknüpfter Funktionen.
Bestimmung von Definitionsbereichen.
Bei jeder Verknüpfung ist der Definitionsbereich zu prüfen.
Schnittmenge der Definitionsbereiche berücksichtigen.
Zusätzliche Einschränkungen durch Nenner oder Wurzeln beachten.
$h(x) = \dfrac{1}{x-2}$.
Dann gilt: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
Addition: Überlagerung der Funktionswerte.
Multiplikation: Kombination der Höhenwerte.
Verkettung: Transformation des Graphen.
Verkettungen beschreiben viele reale Zusammenhänge.
Beispiel: Temperaturabhängigkeit einer Größe.
Viele Transformationen lassen sich als Verknüpfungen schreiben.
Beispiel: $f(ax+b)$ ist eine Verkettung.
Falsche Reihenfolge bei Verkettung.
Definitionsbereich nicht beachtet.
Fehler bei der Anwendung der Kettenregel.
Division durch $0$ übersehen.
Verknüpfungen erzeugen neue Funktionen aus bekannten.
Definitionsbereich ist immer zu prüfen.
Die Reihenfolge bei Verkettungen ist entscheidend.
Ableitungsregeln gelten entsprechend der Verknüpfung.
$(f+g)(x) = f(x)+g(x)$.
$(f-g)(x) = f(x)-g(x)$.
$(f \cdot g)(x) = f(x)\cdot g(x)$.
$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$.