Der Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn sich die Variable $x$ einem bestimmten Wert nähert.
Er gibt an, welchem Wert sich die Funktionswerte $f(x)$ annähern.
$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.
Bedeutung: Die Funktionswerte nähern sich dem Wert $L$, wenn $x$ gegen $x_0$ geht.
Ein Grenzwert existiert, wenn sich $f(x)$ von links und rechts dem gleichen Wert annähert.
Dann gilt: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$.
Linksseitig: $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$.
Rechtsseitig: $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
Beide müssen übereinstimmen für die Existenz des Grenzwertes.
$\lim_{x \to \infty} f(x)$ beschreibt das Verhalten für große $x$.
$\lim_{x \to -\infty} f(x)$ beschreibt das Verhalten für sehr kleine $x$.
$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ bedeutet, dass $f(x)$ unbegrenzt wächst.
$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ bedeutet, dass $f(x)$ unbegrenzt fällt.
Der Grenzwert existiert nur, wenn sich die Funktionswerte eindeutig annähern.
Oszillation oder Sprung verhindern die Existenz.
Eine Funktion ist stetig in $x_0$, wenn gilt:
$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Summenregel: $\lim (f+g) = \lim f + \lim g$.
Differenzregel: $\lim (f-g) = \lim f - \lim g$.
Produktregel: $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$.
Quotientenregel: $\lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\lim f}{\lim g}$, falls $\lim g \neq 0$.
$\lim (f(x))^n = (\lim f(x))^n$.
Polynome sind stetig.
Grenzwert ergibt sich durch direktes Einsetzen.
$\lim_{x \to x_0} p(x) = p(x_0)$.
Einsetzen möglich, wenn Nenner $\neq 0$.
Bei Nenner $=0$ entsteht eine Unbestimmtheit.
Typen: $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$.
Diese müssen umgeformt werden.
Zur Auflösung von $\dfrac{0}{0}$ wird oft faktorisiert.
Beispiel: $\dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$.
Nach Faktorisierung kann gekürzt werden.
Dann Grenzwert durch Einsetzen bestimmen.
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0$.
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = \pm \infty$ je nach Richtung.
$\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$.
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
Für $x^n$ mit $n > 0$ gilt: $\lim_{x \to \infty} x^n = \infty$.
Für $\dfrac{1}{x^n}$ gilt: $\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$.
Exponentialfunktionen wachsen schneller als Potenzen.
Potenzen wachsen schneller als Logarithmen.
Horizontale Asymptote: $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$.
Vertikale Asymptote: $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty$.
$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to x_0} g(x))$, wenn stetig.
Ist $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ und $\lim f = \lim h = L$, dann gilt $\lim g = L$.
$\lim |f(x)| = |\lim f(x)|$.
Grenzwerte gelten auch für Zahlenfolgen.
$\lim_{n \to \infty} a_n = L$.
Die Ableitung ist ein Grenzwert:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Stetig, wenn Nenner $\neq 0$.
Unstetig bei Nenner $=0$.
Links- und rechtsseitige Grenzwerte verschieden.
Kein Grenzwert vorhanden.
Grenzwert existiert, aber Funktionswert ist nicht definiert oder falsch.
Funktionswerte gehen gegen $\pm \infty$.
Einsetzen prüfen.
Bei Unbestimmtheit umformen.
Grenzwert bestimmen.
Direktes Einsetzen bei $\dfrac{0}{0}$.
Links- und rechtsseitige Grenzwerte nicht geprüft.
Definitionsbereich ignoriert.
Grenzwerte beschreiben Annäherungsverhalten.
Existenz erfordert eindeutigen Grenzwert.
Rechenregeln gelten nur bei existierenden Grenzwerten.
$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.
Links = rechts für Existenz.
Rechenregeln anwenden.
Unbestimmtheiten umformen.