Die Kinematik beschreibt Bewegungen von Körpern ohne Betrachtung der Kräfte.
Zentrale Größen sind Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Die Ortsfunktion beschreibt die Position eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit.
Allgemein: $s(t)$.
$s(t)$ gibt den Ort zum Zeitpunkt $t$ an.
$t$ ist die unabhängige Variable und beschreibt die Zeit.
Einheit: $t$ in Sekunden $[s]$.
Mittlere Geschwindigkeit: $\dfrac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$.
Dies ist ein Differenzenquotient.
Definition: $v(t) = \lim_{h \to 0} \dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$.
Dies ist die erste Ableitung der Ortsfunktion.
Also: $v(t) = s'(t)$.
$v(t)$ gibt die momentane Änderungsrate des Ortes an.
Sie beschreibt, wie schnell sich der Ort verändert.
$v(t)$ hat die Einheit $\dfrac{m}{s}$.
Definition: $a(t) = v'(t)$.
Da $v(t) = s'(t)$ gilt:
$a(t) = s''(t)$.
$a(t)$ beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit.
Sie gibt an, wie stark sich die Geschwindigkeit verändert.
$a(t)$ hat die Einheit $\dfrac{m}{s^2}$.
Ort: $s(t)$.
Geschwindigkeit: $v(t) = s'(t)$.
Beschleunigung: $a(t) = s''(t)$.
Die Steigung des $s(t)$-Graphen ist $v(t)$.
Die Steigung des $v(t)$-Graphen ist $a(t)$.
$v(t) > 0 \Rightarrow s(t)$ steigt.
$v(t) < 0 \Rightarrow s(t)$ fällt.
$v(t) = 0 \Rightarrow$ möglicher Extrempunkt von $s(t)$.
Wenn $v(t_0)=0$, dann kann $s(t)$ ein Maximum oder Minimum haben.
Zusätzliche Bedingung über $a(t_0)$ prüfen.
$a(t) > 0 \Rightarrow s(t)$ ist nach oben gekrümmt.
$a(t) < 0 \Rightarrow s(t)$ ist nach unten gekrümmt.
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn $a(t)=0$ und ein Vorzeichenwechsel erfolgt.
$v(t)$ ist konstant.
$a(t) = 0$.
Ortsfunktion: $s(t) = v \cdot t + s_0$.
$a(t) = a$ konstant.
$v(t) = a \cdot t + v_0$.
$s(t) = \dfrac{1}{2} a t^2 + v_0 t + s_0$.
$s_0 = s(0)$ Anfangsort.
$v_0 = v(0)$ Anfangsgeschwindigkeit.
Ein Körper steht still, wenn $v(t) = 0$.
Dies entspricht einer Nullstelle der Geschwindigkeit.
Ein Richtungswechsel liegt vor, wenn $v(t)$ das Vorzeichen wechselt.
Extremstellen von $s(t)$ entsprechen Nullstellen von $v(t)$.
Klassifikation erfolgt über $a(t)$.
Die Fläche unter dem $v(t)$-Graphen entspricht der Ortsänderung.
Zur Bestimmung von $v(t)$ und $a(t)$ werden die bekannten Ableitungsregeln verwendet.
Gegeben: $s(t) = t^2$.
$v(t) = 2t$.
$a(t) = 2$.
Konstante Beschleunigung bedeutet gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Ist $a(t) < 0$, spricht man von Verzögerung.
Ist $v(t)$ positiv und $a(t)$ negativ, wird das Objekt langsamer.
Ist $v(t)$ und $a(t)$ gleiches Vorzeichen, wird das Objekt schneller.
$a(t)=0$ kann auf Wendepunkte der Bewegung hinweisen.
Bestimmung von $v(t)$ und $a(t)$.
Analyse von Bewegungen.
Bestimmung von Extremstellen.
Gegebene Ortsfunktion analysieren.
Ableitungen berechnen.
Nullstellen bestimmen.
Interpretation der Ergebnisse.
$s(t)$ in $[m]$.
$v(t)$ in $\dfrac{m}{s}$.
$a(t)$ in $\dfrac{m}{s^2}$.
Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Ortes.
Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes.
Bewegungen lassen sich vollständig durch Ableitungen beschreiben.
$s(t)$ → Ort.
$v(t) = s'(t)$ → Geschwindigkeit.
$a(t) = s''(t)$ → Beschleunigung.