Die Krümmung beschreibt, wie sich die Steigung einer Funktion verändert.
Sie gibt an, ob ein Graph nach oben oder nach unten gebogen ist.
Die Krümmung wird durch die zweite Ableitung beschrieben.
$f''(x)$ ist die Krümmungsfunktion.
Ist $f''(x) > 0$, dann ist der Graph linksgekrümmt (konvex).
Ist $f''(x) < 0$, dann ist der Graph rechtsgekrümmt (konkav).
$f''(x) > 0$: Die Steigung nimmt zu.
$f''(x) < 0$: Die Steigung nimmt ab.
$f''(x) > 0 \Rightarrow f'(x)$ ist monoton steigend.
$f''(x) < 0 \Rightarrow f'(x)$ ist monoton fallend.
Ein Graph ist konvex, wenn alle Tangenten unterhalb des Graphen liegen.
Formal: $f''(x) > 0$.
Ein Graph ist konkav, wenn alle Tangenten oberhalb des Graphen liegen.
Formal: $f''(x) < 0$.
Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Krümmung wechselt.
Es gilt: $f''(x_0) = 0$ und Vorzeichenwechsel von $f''(x)$.
Die zugehörige $x$-Koordinate heißt Wendestelle.
Schritt $1$: Berechne $f''(x)$.
Schritt $2$: Setze $f''(x) = 0$.
Schritt $3$: Prüfe Vorzeichenwechsel.
Schritt $4$: Berechne $f(x_0)$.
$f''(x_0) = 0$.
Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ oder $f'''(x_0) \neq 0$.
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Es gilt: $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)=0$.
$f''(x) = 0$.
Keine Krümmung vorhanden.
$f''(x) = 2a$.
Konstante Krümmung.
$f(x) = x^n$.
$f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$.
$f(x)=x^3$.
$f''(x)=6x$.
Wendepunkt bei $x=0$.
Bei Extremstellen gilt:
$f''(x_0) > 0 \Rightarrow$ Minimum.
$f''(x_0) < 0 \Rightarrow$ Maximum.
Konvex: Tangente liegt unterhalb des Graphen.
Konkav: Tangente liegt oberhalb des Graphen.
Krümmung bestimmt die Form des Graphen.
Wichtig für Kurvendiskussion.
Untersuche Vorzeichen von $f''(x)$ in Intervallen.
Bestimme Bereiche von Konvexität und Konkavität.
Der Graph wechselt von links- zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.
Bestimmung von Wendepunkten.
Untersuchung der Krümmung.
Analyse des Graphen.
Funktion gegeben.
Erste und zweite Ableitung berechnen.
$f''(x)=0$ lösen.
Vorzeichenwechsel prüfen.
Untersuche $f''(x)$ in verschiedenen Intervallen.
Bestimme Krümmungsbereiche.
Nur $f''(x)=0$ prüfen ohne Vorzeichenwechsel.
Verwechslung von Extremstelle und Wendestelle.
Falsche Interpretation von $f''(x)$.
$f''(x)$ beschreibt die Krümmung.
Vorzeichen von $f''(x)$ entscheidet über Form.
Wendepunkt bei Vorzeichenwechsel.
$f''(x) > 0$ → konvex.
$f''(x) < 0$ → konkav.
$f''(x)=0$ → mögliche Wendestelle.