Eine lineare Funktion hat die Form $f(x) = mx + b$.
$m,b \in \mathbb{R}$ sind Konstanten.
$m$ ist die Steigung der Geraden.
$b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.
Der Graph ist eine Gerade.
Er ist eindeutig durch zwei Punkte bestimmt.
Definitionsbereich: $D = \mathbb{R}$.
Wertebereich: $W = \mathbb{R}$ für $m \neq 0$.
$m > 0 \Rightarrow$ streng monoton steigend.
$m < 0 \Rightarrow$ streng monoton fallend.
$m = 0 \Rightarrow$ konstant.
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Die Steigung ist konstant für alle $x$.
$f(0) = b$.
Der Punkt $(0,b)$ liegt auf dem Graphen.
Bestimmung durch $mx + b = 0$.
$x_0 = -\dfrac{b}{m}$, falls $m \neq 0$.
Für $m = 0$ gilt $f(x) = b$.
Der Graph ist eine waagerechte Gerade.
Keine Nullstelle, falls $b \neq 0$.
$f'(x) = m$.
Die Ableitung ist konstant.
$f'(x)$ entspricht der Steigung der Geraden.
Die Steigung ist überall gleich.
$f''(x) = 0$.
Die zweite Ableitung ist identisch null.
Keine Krümmung.
Der Graph ist weder konvex noch konkav.
Lineare Funktionen besitzen keine Extremstellen.
Da $f'(x) \neq 0$ für $m \neq 0$.
Keine Wendepunkte vorhanden.
Da $f''(x) = 0$ konstant ist.
Die Tangente an jedem Punkt ist die Funktion selbst.
Die Sekantensteigung ist konstant und entspricht $m$.
$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = m$.
Der Differenzenquotient ist konstant.
$f'(x) = m$.
Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist konstant.
Lineare Funktionen sind Spezialfälle von Polynomfunktionen.
Grad $1$.
$m$ bestimmt die Steilheit der Geraden.
Großes $|m|$ → steile Gerade.
$b$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.
$y$-Achse: $(0,b)$.
$x$-Achse: $\left(-\dfrac{b}{m},0\right)$.
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmbar.
$y - y_0 = m(x - x_0)$.
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie gleiche Steigung haben.
$m_1 = m_2$.
Zwei Geraden sind orthogonal, wenn $m_1 \cdot m_2 = -1$.
Gerade ohne Krümmung.
Unendliche Ausdehnung in beide Richtungen.
Bestimmung von $m$ und $b$.
Berechnung von Nullstellen.
Untersuchung von Steigung und Verlauf.
Gleichförmige Bewegung: $s(t) = vt + s_0$.
Proportionale Zusammenhänge.
Form der Funktion erkennen.
Parameter bestimmen.
Eigenschaften analysieren.
$f(x) = mx + b$.
$f'(x) = m$.
$f''(x) = 0$.
Konstante Steigung.
Gerade.
Keine Extremstellen.
Keine Krümmung.