Ein Maximum ist ein Punkt, an dem eine Funktion den größten Wert annimmt.
Es wird zwischen lokalem und globalem Maximum unterschieden.
Eine Funktion hat bei $x_0$ ein lokales Maximum, wenn gilt:
$f(x_0) \geq f(x)$ für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$.
Ein globales Maximum liegt vor, wenn gilt:
$f(x_0) \geq f(x)$ für alle $x$ im gesamten Definitionsbereich.
Der Punkt $(x_0,f(x_0))$ heißt Hochpunkt.
Er ist der zugehörige Punkt eines Maximums.
Ist $f$ differenzierbar, dann gilt für ein Maximum:
$f'(x_0) = 0$.
Kritische Stellen sind Lösungen von $f'(x) = 0$ oder Stellen, an denen $f'(x)$ nicht existiert.
Nur dort können Maxima liegen.
Gilt $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) < 0$, dann liegt ein lokales Maximum vor.
$f''(x_0) < 0$ bedeutet, dass der Graph nach unten gekrümmt ist.
Wechselt $f'(x)$ von positiv zu negativ, liegt ein Maximum vor.
Vor dem Maximum: $f'(x) > 0$ → Funktion steigt.
Nach dem Maximum: $f'(x) < 0$ → Funktion fällt.
Im Maximum ist die Tangente waagerecht.
Es gilt: $f'(x_0) = 0$.
Schritt $1$: Ableitung $f'(x)$ bilden.
Schritt $2$: $f'(x) = 0$ lösen.
Schritt $3$: $f''(x)$ bestimmen.
Schritt $4$: Vorzeichen prüfen.
Schritt $5$: $f(x_0)$ berechnen.
Das Maximum hat die Koordinaten $(x_0,f(x_0))$.
Bei Intervallen müssen auch Randpunkte untersucht werden.
$f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a < 0$.
Maximum bei $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
$f(x)=-x^2$.
$f'(x)=-2x$.
$f'(x)=0 \Rightarrow x_0=0$.
$f''(x)=-2<0 \Rightarrow$ Maximum.
Maximum liegt in einem konkaven Bereich.
Nullstellen von $f'(x)$ liefern mögliche Maxima.
Bei mehrfachen Nullstellen von $f'(x)$ kann ein Maximum vorliegen.
Vorzeichenwechsel prüfen.
Wenn $f'(x_0)=0$ aber kein Vorzeichenwechsel, liegt kein Maximum vor.
Das Maximum ist der höchste Punkt einer Kurve im betrachteten Bereich.
Maxima werden zur Lösung von Optimierungsproblemen verwendet.
Bestimmung von Hochpunkten.
Untersuchung von Funktionen auf Maxima.
Optimierungsaufgaben.
Funktion analysieren.
Ableitung bilden.
Kritische Stellen bestimmen.
Klassifikation durchführen.
Das Maximum hat die gleiche Einheit wie $f(x)$.
Maximum der Ortsfunktion kann einen Umkehrpunkt darstellen.
$f'(x)=0$ wird automatisch als Maximum interpretiert.
Zweite Ableitung wird nicht geprüft.
Randpunkte werden ignoriert.
$f'(x_0)=0$ ist notwendige Bedingung.
$f''(x_0)<0$ zeigt ein Maximum.
Vorzeichenwechsel bestätigt das Maximum.
Maximum: größter Funktionswert.
Lokales und globales Maximum unterscheiden.
Ableitungen zur Bestimmung nutzen.