Ein Minimum ist ein Punkt, an dem eine Funktion den kleinsten Wert annimmt.
Es wird zwischen lokalem und globalem Minimum unterschieden.
Eine Funktion hat bei $x_0$ ein lokales Minimum, wenn gilt:
$f(x_0) \leq f(x)$ für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$.
Ein globales Minimum liegt vor, wenn gilt:
$f(x_0) \leq f(x)$ für alle $x$ im gesamten Definitionsbereich.
Der Punkt $(x_0,f(x_0))$ heißt Tiefpunkt.
Er ist der zugehörige Punkt eines Minimums.
Ist $f$ differenzierbar, dann gilt für ein Minimum:
$f'(x_0) = 0$.
Kritische Stellen sind Lösungen von $f'(x) = 0$ oder Stellen, an denen $f'(x)$ nicht existiert.
Nur dort können Minima liegen.
Gilt $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) > 0$, dann liegt ein lokales Minimum vor.
$f''(x_0) > 0$ bedeutet, dass der Graph nach oben gekrümmt ist.
Wechselt $f'(x)$ von negativ zu positiv, liegt ein Minimum vor.
Vor dem Minimum: $f'(x) < 0$ → Funktion fällt.
Nach dem Minimum: $f'(x) > 0$ → Funktion steigt.
Im Minimum ist die Tangente waagerecht.
Es gilt: $f'(x_0) = 0$.
Schritt $1$: Ableitung $f'(x)$ bilden.
Schritt $2$: $f'(x) = 0$ lösen.
Schritt $3$: $f''(x)$ bestimmen.
Schritt $4$: Vorzeichen prüfen.
Schritt $5$: $f(x_0)$ berechnen.
Das Minimum hat die Koordinaten $(x_0,f(x_0))$.
Bei Intervallen müssen auch Randpunkte untersucht werden.
$f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a > 0$.
Minimum bei $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
$f(x)=x^2$.
$f'(x)=2x$.
$f'(x)=0 \Rightarrow x_0=0$.
$f''(x)=2>0 \Rightarrow$ Minimum.
Minimum liegt in einem konvexen Bereich.
Nullstellen von $f'(x)$ liefern mögliche Minima.
Bei mehrfachen Nullstellen von $f'(x)$ kann ein Minimum vorliegen.
Vorzeichenwechsel prüfen.
Wenn $f'(x_0)=0$ aber kein Vorzeichenwechsel, liegt kein Minimum vor.
Das Minimum ist der tiefste Punkt einer Kurve im betrachteten Bereich.
Minima werden zur Lösung von Optimierungsproblemen verwendet.
Bestimmung von Tiefpunkten.
Untersuchung von Funktionen auf Minima.
Optimierungsaufgaben.
Funktion analysieren.
Ableitung bilden.
Kritische Stellen bestimmen.
Klassifikation durchführen.
Das Minimum hat die gleiche Einheit wie $f(x)$.
Minimum der Ortsfunktion kann Stillstandspunkt darstellen.
$f'(x)=0$ wird automatisch als Minimum interpretiert.
Zweite Ableitung wird nicht geprüft.
Randpunkte werden ignoriert.
$f'(x_0)=0$ ist notwendige Bedingung.
$f''(x_0)>0$ zeigt ein Minimum.
Vorzeichenwechsel bestätigt das Minimum.
Minimum: kleinster Funktionswert.
Lokales und globales Minimum unterscheiden.
Ableitungen zur Bestimmung nutzen.