Oberstufe Klasse 11 - Monotonie

Definition

Gegeben : $f(x)$ sei im Intervall $I~=~[x_l,x_h]$ mit $x_l~<~x_h$ für alle $x~\in~I$ stetig.

Satz : $f(x)$ ist im Intervall $I$ monoton steigend, wenn $f'(x)~>~0$.

Satz : $f(x)$ ist im Intervall $I$ monoton fallend, wenn $f'(x)~<~0$.

Hinweis : mit $f'(x)~=~0$ werden alle Steigungs-Umkehrpunkte (auch ausserhalb des Intervalls $I$) gefunden.

Grundbegriffe

• Monotonie beschreibt das Änderungsverhalten einer Funktion auf einem Intervall.
  
• Untersucht wird immer ein Intervall $I$, nicht nur eine einzelne Stelle.
  
• Die Monotonie kann sich nur an kritischen Stellen ändern, also an Stellen mit $f'(x)~=~0$ oder an Stellen, an denen $f'(x)$ nicht existiert.
  

Definitionen über Funktionswerte

• $f$ heisst monoton steigend auf $I$, wenn für alle $x_1,~x_2~\in~I$ mit $x_1~<~x_2$ gilt: $f(x_1)~\leq~f(x_2)$.
  
• $f$ heisst streng monoton steigend auf $I$, wenn für alle $x_1,~x_2~\in~I$ mit $x_1~<~x_2$ gilt: $f(x_1)~<~f(x_2)$.
  
• $f$ heisst monoton fallend auf $I$, wenn für alle $x_1,~x_2~\in~I$ mit $x_1~<~x_2$ gilt: $f(x_1)~\geq~f(x_2)$.
  
• $f$ heisst streng monoton fallend auf $I$, wenn für alle $x_1,~x_2~\in~I$ mit $x_1~<~x_2$ gilt: $f(x_1)~>~f(x_2)$.
  
• $f$ heisst konstant auf $I$, wenn für alle $x_1,~x_2~\in~I$ gilt: $f(x_1)~=~f(x_2)$.
  

Definitionen über die erste Ableitung

• Gilt für alle $x~\in~I$: $f'(x)~>~0$, dann ist $f$ auf $I$ streng monoton steigend.
  
• Gilt für alle $x~\in~I$: $f'(x)~\geq~0$, dann ist $f$ auf $I$ monoton steigend.
  
• Gilt für alle $x~\in~I$: $f'(x)~<~0$, dann ist $f$ auf $I$ streng monoton fallend.
  
• Gilt für alle $x~\in~I$: $f'(x)~\leq~0$, dann ist $f$ auf $I$ monoton fallend.
  
• Gilt für alle $x~\in~I$: $f'(x)~=~0$, dann ist $f$ auf $I$ konstant.
  

Wichtige Regeln

• Zur Monotonieuntersuchung wird zuerst die Ableitung $f'(x)$ gebildet.
  
• Danach werden die Gleichungen $f'(x)~=~0$ gelöst.
  
• Zusätzlich werden Stellen betrachtet, an denen $f'(x)$ nicht existiert.
  
• Diese Stellen zerlegen die Zahlengerade in Intervalle.
  
• In jedem Intervall wird das Vorzeichen von $f'(x)$ untersucht.
  
• Bei $f'(x)~>~0$ ist $f$ dort steigend.
  
• Bei $f'(x)~<~0$ ist $f$ dort fallend.
  
• Ein Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ von $+$ nach $-$ zeigt einen Hochpunkt an.
  
• Ein Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ von $-$ nach $+$ zeigt einen Tiefpunkt an.
  
• Kein Vorzeichenwechsel bei $f'(x)~=~0$ bedeutet: kein Extrempunkt, sondern möglich ist ein Terrassenpunkt oder Sattelpunkt.
  

Monotonietest mit Vorzeichenwechsel

• Wechselt $f'(x)$ an der Stelle $x_0$ von $+$ nach $-$, dann ist $f$ links von $x_0$ steigend und rechts von $x_0$ fallend.
  
• Wechselt $f'(x)$ an der Stelle $x_0$ von $-$ nach $+$, dann ist $f$ links von $x_0$ fallend und rechts von $x_0$ steigend.
  
• Wechselt das Vorzeichen nicht, dann bleibt die Monotonie vor und nach $x_0$ gleich.
  

Zusammenhang mit Extrempunkten

• Ein Hochpunkt liegt vor, wenn $f'(x_0)~=~0$ und $f'(x)$ in der Umgebung von $x_0$ von positiv zu negativ wechselt.
  
• Ein Tiefpunkt liegt vor, wenn $f'(x_0)~=~0$ und $f'(x)$ in der Umgebung von $x_0$ von negativ zu positiv wechselt.
  
• Notwendige Bedingung für einen inneren Extrempunkt ist häufig $f'(x_0)~=~0$.
  
• Diese Bedingung ist nicht hinreichend, weil auch Stellen ohne Extremum die Gleichung $f'(x_0)~=~0$ erfüllen können.
  

Hinweise zur Schreibweise

• Die Aussage $f'(x)~>~0$ bedeutet streng monoton steigend.
  
• Die Aussage $f'(x)~\geq~0$ bedeutet monoton steigend.
  
• Die Aussage $f'(x)~<~0$ bedeutet streng monoton fallend.
  
• Die Aussage $f'(x)~\leq~0$ bedeutet monoton fallend.
  
• Die Gleichung $f'(x)~=~0$ allein liefert nur Kandidaten für Extrem- oder Wendestellen, aber noch keine vollständige Monotonieaussage.
  

Vorgehensschema

1. Bestimme $f'(x)$.
   
2. Löse $f'(x)~=~0$.
   
3. Bestimme alle Stellen, an denen $f'(x)$ nicht definiert ist.
   
4. Ordne alle gefundenen Stellen der Größe nach.
   
5. Zerlege den Definitionsbereich in Intervalle.
   
6. Prüfe in jedem Intervall das Vorzeichen von $f'(x)$.
   
7. Gib daraus die Monotonieintervalle an.
   
8. Bestimme aus Vorzeichenwechseln mögliche Hoch- und Tiefpunkte.
   

Typische Formulierungen im Ergebnis

• $f$ ist auf $I$ streng monoton steigend.
  
• $f$ ist auf $I$ monoton steigend.
  
• $f$ ist auf $I$ streng monoton fallend.
  
• $f$ ist auf $I$ monoton fallend.
  
• $f$ ist auf $I$ konstant.
  
• $f$ ist auf $I_1$ steigend und auf $I_2$ fallend.
  

Ergänzende Regeln zur zweiten Ableitung

• Gilt $f'(x_0)~=~0$ und zusätzlich $f''(x_0)~>~0$, dann liegt bei $x_0$ ein Tiefpunkt vor.
  
• Gilt $f'(x_0)~=~0$ und zusätzlich $f''(x_0)~<~0$, dann liegt bei $x_0$ ein Hochpunkt vor.
  
• Gilt $f'(x_0)~=~0$ und $f''(x_0)~=~0$, dann ist keine sichere Entscheidung nur mit der zweiten Ableitung möglich.
  
• Für die reine Monotonieuntersuchung ist der Vorzeichentest von $f'(x)$ immer zuverlässig.
  

Sonderfälle

• Ist $f$ an einer Stelle nicht differenzierbar, kann dort trotzdem ein Extrempunkt vorliegen.
  
• Auf Randpunkten eines abgeschlossenen Intervalls werden Hoch- und Tiefpunkte über den Funktionsvergleich, nicht nur über $f'(x)~=~0$, bestimmt.
  
• Monotonie ist immer relativ zu einem Intervall zu betrachten.
  

Kurzfassung

• $f'(x)~>~0~\Rightarrow~f$ streng monoton steigend.
  
• $f'(x)~\geq~0~\Rightarrow~f$ monoton steigend.
  
• $f'(x)~<~0~\Rightarrow~f$ streng monoton fallend.
  
• $f'(x)~\leq~0~\Rightarrow~f$ monoton fallend.
  
• $f'(x)~=~0~\Rightarrow~$ mögliche Extremstelle oder konstantes Verhalten, aber keine alleinige Monotonieentscheidung.
  

Beispiel: Gerade

Gegeben : $f(x) = m(x - x_0) + b$ : Gerade mit Steigung $m$ , Nullstelle $x_0$ , Achsenabschnitt $b$

Gesucht : Wo ist $f(x)$ monoton steigend/fallend?

Lösung :

Aus der 1. Ableitung $f'(x_n) = 0$ mit den 1.Ableitung-Nullstellen $x_n$ ergeben sich die Steigungs-Umkehrpunkte!

$f'(x) = [m(x_n - x_0) + b]' = 0$

$f'(x) = [m x_n - m x_0 + b]' = 0$

$f'(x) = m = 0$

Da die Steigung einer Geraden $m$ für alle möglichen Geraden ungleich Null ist,
gibt es bei einer Geraden keine Steigungs-Umkehrpunkte!

2. $f'(x) = m > 0$ Wenn $m > 0$ ist die Gerade in ihrem gesamten Definitionsbereich monoton steigend.

3. $f'(x) = m < 0$ Wenn $m < 0$ ist die Gerade in ihrem gesamten Definitionsbereich monoton fallend.

Beispiel: Parabel

Gegeben : $\boxed{f(x) = a(x - x_0)^2 + b}$ : Parabel mit Steigung $a$ , Nullstelle $x_0$ , Achsenabschnitt $b$

Gesucht : Wo ist $f(x)$ monoton steigend/fallend?

Lösung :

1) Aus der 1. Ableitung $f'(x_n) = 0$ mit den 1.Ableitung-Nullstellen $x_n$ ergeben sich die Steigungs-Umkehrpunkte!

$f'(x) = [a(x_n - x_0)^2 + b]' = 0$

$f'(x) = [a x_n^2 -2 a x_0 x_n + a b]' = 0$

$f'(x) = 2 a x_n - 2 a x_0 = 0$

$2 a x - 2 a x_0 = 0$

$2 a (x_n - x_0) = 0$

$x_n = x_0$ : Damit ergibt sich ein Steigungs-Umkehrpunkt bei $x_0$ .

2) Intervall $x \in I = (x_0 .. +\infty)$ (ohne $x_0$ und ohne plus Unendlich!), positive Steigung $a > 0$ :

$\boxed{f'(x) = 2 a (x - x_0) > 0}$ da $x > x_0$

3) Intervall $x \in I = (-\infty .. x_0$ (ohne minus Unendlich und ohne $x_0$ !), positive Steigung $a > 0$ :

$\boxed{f'(x) = 2 a (x - x_0) < 0}$ da $x < x_0$

4) Bei negativer Steigung $a < 0$ umgekehrtes Verhalten!

Beispiel: Polynom 3. Grades mit Zahlen

Gegeben : $\boxed{f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x}$ : Polynom mit konstanten Koeffizienten $\in \mathbb{R}$

Gesucht : Wo ist $f(x)$ monoton steigend/fallend?

Lösung :

$f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$

$f'(x) = [\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x]' = x^2 - 4x +3$

1) Aus der 1. Ableitung $f'(x_n) = 0$ mit den 1.Ableitung-Nullstellen $x_n$ ergeben sich die Steigungs-Umkehrpunkte!

$f'(x) = [\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x]' = 0$

$f'(x) = x^2 - 4x + 3 = 0~~$ entspricht: $~~ x^2 +px +q = 0~~$ (PQ-Formel) mit $~~p= -4 ~~$ und $~~q = 3~~$

Lösungen der PQ-Formel:

$ x_{n1} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q} $

$ x_{n2} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q} $

$ x_{n1} = +\dfrac{4}{2} + \sqrt{\dfrac{16}{4} - 3}$

$\boxed{x_{n2} = 2 + 1 = 3}~~$ und $~~\boxed{x_{n1} = 2 - 1 = 1}$

Aus den zwei Nullstellen der ersten Ableitung folgen drei Monotonie-Intervalle:

Linkes Monotonie-Intervall : $\boxed{-\infty < x < x_{n1} = 1}$

In linken Intervall ist die 1. Ableitung positiv und daher die Funktion streng monoton steigend!

Mittleres Monotonie-Intervall : $\boxed{x_{n1} = 1 < x < x_{n2} = 3}$

In mittleren Intervall ist die 1. Ableitung negativ und daher die Funktion streng monoton fallend!

Rechtes Monotonie-Intervall : $\boxed{x_{n2} < x < +\infty}$

In rechten Intervall ist die 1. Ableitung positiv und daher die Funktion streng monoton steigend!

Beispiel: Polynom 3. Grades allgemein

Gegeben : $\boxed{f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d}$ : Polynom mit konstanten Koeffizienten $a,b,c,d \in \mathbb{R}$

Gesucht : Wo ist $f(x)$ monoton steigend/fallend?

Lösung :

1) Aus der 1. Ableitung $f'(x_n) = 0$ mit den 1.Ableitung-Nullstellen $x_n$ ergeben sich die Steigungs-Umkehrpunkte!

$f'(x_n) = [ax_n^3 +bx_n^2 + cx_n + d]' = 0$

$f'(x_n) = 3ax_n^2 + 2bx _n + c = 0$ (PQ-Formel für Nullstellen der ersten Ableitung, nicht der Originalfunktion!)

$ 3 a x_n^2 + 2 b x_n + c = 0 $

$x_n^2 + \dfrac{2b}{3a} x_n + \dfrac{c}{3a} = 0$    (10) damit sei $p := \dfrac{2b}{3a}$ und $q := \dfrac{c}{3a}$

Lösung von (10) durch die PQ-Formel: $x_{n1/2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}$

und damit:

$\boxed{x_{n1} = -\dfrac{b}{3a} + \sqrt{\dfrac{b^2}{9a^2} - \dfrac{c}{3a}}}$

$\boxed{x_{n2} = -\dfrac{b}{3a} - \sqrt{\dfrac{b^2}{9a^2} - \dfrac{c}{3a}}}$