Eine Nullstelle ist eine Stelle $x_0$, für die gilt: $f(x_0) = 0$.
Der Punkt $(x_0,0)$ ist ein Schnittpunkt des Graphen mit der $x$-Achse.
Nullstellen geben an, wo der Funktionswert $0$ ist.
Sie sind Lösungen der Gleichung $f(x) = 0$.
Setze: $f(x) = 0$.
Löse die entstehende Gleichung nach $x$ auf.
Eine Funktion kann keine, eine oder mehrere Nullstellen besitzen.
Polynome vom Grad $n$ haben höchstens $n$ reelle Nullstellen.
Für $f(x) = mx + b$ gilt:
Nullstelle: $x_0 = -\dfrac{b}{m}$, falls $m \neq 0$.
Für $f(x) = ax^2 + bx + c$ gilt:
Nullstellen durch Mitternachtsformel:
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
$D = b^2 - 4ac$.
$D > 0$: zwei Nullstellen.
$D = 0$: eine doppelte Nullstelle.
$D < 0$: keine reellen Nullstellen.
Funktion als Produkt schreiben.
Beispiel: $f(x) = (x-1)(x+2)$.
Nullstellen: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Ist $f(x)\cdot g(x) = 0$, dann gilt:
$f(x) = 0$ oder $g(x) = 0$.
Ein Produkt ist genau dann $0$, wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.
Nullstellen entstehen nur durch den Zähler.
Setze Zähler $= 0$.
Der Nenner darf nicht $0$ sein.
$a^x > 0$ für alle $x$.
Daher besitzen reine Exponentialfunktionen keine Nullstellen.
Nullstellen entstehen nur durch Verschiebungen, z.B. $a^x - c = 0$.
Für $f(x) = \log_a(x)$ gilt:
Nullstelle bei $x = 1$, da $\log_a(1) = 0$.
Beispiel: $\sin(x) = 0$ für $x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Beispiel: $\cos(x) = 0$ für $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
Eine doppelte Nullstelle liegt vor, wenn $(x-x_0)^2$ Faktor ist.
Allgemein: $(x-x_0)^n$ bedeutet $n$-fache Nullstelle.
Gerade Vielfachheit: Graph berührt die $x$-Achse.
Ungerade Vielfachheit: Graph schneidet die $x$-Achse.
Ist $x_0$ eine doppelte Nullstelle, dann gilt:
$f(x_0)=0$ und $f'(x_0)=0$.
Bei doppelten Nullstellen liegt oft ein Extrempunkt vor.
Nullstellen sind Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
Sie sind wichtige Orientierungspunkte im Graphen.
Nullstellen trennen oft Bereiche mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Vorzeichenwechsel zeigt Schnitt der $x$-Achse.
Untersuche Intervalle zwischen Nullstellen.
Bestimme Vorzeichen von $f(x)$.
Bei komplizierten Funktionen werden Nullstellen numerisch bestimmt.
Beispiel: Intervallschachtelung.
$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
Iteratives Verfahren zur Nullstellenbestimmung.
Nullstellen können aus dem Graphen abgeschätzt werden.
Bestimmung aller Nullstellen.
Faktorisieren von Funktionen.
Analyse des Graphen.
Gleichung $f(x)=0$ aufstellen.
Geeignete Methode wählen.
Lösungen bestimmen.
Ergebnisse überprüfen.
Nur Werte im Definitionsbereich sind gültige Nullstellen.
Beim Umformen können unzulässige Lösungen entstehen.
Diese müssen überprüft werden.
Nullstellen sind Lösungen von $f(x)=0$.
Sie entsprechen Schnittpunkten mit der $x$-Achse.
Faktorisieren erleichtert die Bestimmung.
Definitionsbereich beachten.
$f(x_0)=0$.
Löse Gleichung.
Prüfe Lösungen.