Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x) = x^n$.
$n \in \mathbb{R}$ ist der Exponent.
Ganzzahlige Exponenten: $n \in \mathbb{Z}$.
Positive Exponenten: $n > 0$.
Negative Exponenten: $n < 0$.
Rationale Exponenten: $n = \dfrac{p}{q}$.
Für $n \in \mathbb{N}$ gilt: $D = \mathbb{R}$.
Für negative Exponenten gilt: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Für rationale Exponenten mit geradem Nenner gilt: $x \geq 0$.
Abhängig vom Exponenten.
Beispiel: $f(x)=x^2 \Rightarrow W = [0,\infty)$.
Beispiel: $f(x)=x^3 \Rightarrow W = \mathbb{R}$.
Gerade Exponenten: $f(-x) = f(x)$ → achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
Ungerade Exponenten: $f(-x) = -f(x)$ → punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für $n > 0$: $\lim_{x \to \infty} x^n = \infty$.
Für $n < 0$: $\lim_{x \to \infty} x^n = 0$.
Für $n > 0$: $\lim_{x \to 0} x^n = 0$.
Für $n < 0$: $\lim_{x \to 0} x^n = \infty$ oder $-\infty$.
$f(x)=x^n$ hat Nullstelle bei $x=0$, falls $n>0$.
Für $n<0$ keine Nullstelle.
Für ungerade $n$: streng monoton steigend.
Für gerade $n$: nicht monoton, Minimum bei $x=0$.
Für gerade $n$: Minimum bei $x=0$.
Für ungerade $n$: keine Extremstellen.
$\dfrac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$.
$f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$.
$f''(x) > 0$ → konvex.
$f''(x) < 0$ → konkav.
Wendepunkte möglich, wenn $f''(x)=0$.
Beispiel: $f(x)=x^3$ hat Wendepunkt bei $x=0$.
$x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$.
Beispiel: $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$.
Für negative Exponenten: vertikale Asymptote bei $x=0$.
Horizontale Asymptote: $y=0$.
$x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$.
$x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}$.
$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$.
$\dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.
$(x^a)^b = x^{ab}$.
$(xy)^a = x^a y^a$.
Höhere Exponenten wachsen schneller.
$x^3$ wächst schneller als $x^2$.
Gerade Potenzen: U-förmig.
Ungerade Potenzen: S-förmig.
$f(x)=a \cdot x^n$ streckt oder staucht den Graphen.
$f(x)=x^n + d$ verschiebt nach oben oder unten.
$|a| > 1$: Streckung.
$0 < |a| < 1$: Stauchung.
$a < 0$ → Spiegelung an der $x$-Achse.
Potenzfunktionen können mit anderen Funktionen kombiniert werden.
Beispiel: $f(x) = x^2 + 3x$.
Flächen- und Volumenberechnungen.
Physikalische Modelle.
Bestimmung von Ableitungen.
Untersuchung von Graphen.
Vergleich von Funktionen.
Bei negativen Exponenten ist $x=0$ ausgeschlossen.
Potenzfunktionen haben die Form $x^n$.
Die Ableitung folgt der Potenzregel.
Symmetrie hängt von der Parität von $n$ ab.
$f(x)=x^n$.
$f'(x)=n x^{n-1}$.
Symmetrie: gerade oder ungerade.
Definitionsbereich beachten.
---Eine Potenzfunktion hat die Form $f(x) = x^n$.
$n \in \mathbb{R}$ ist der Exponent.
Für $n \in \mathbb{N}$ gilt: $D = \mathbb{R}$.
Für $n < 0$ gilt: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Für rationale Exponenten mit geradem Nenner gilt: $x \geq 0$.
Abhängig von $n$.
Beispiel: $x^2 \Rightarrow W = [0,\infty)$.
Beispiel: $x^3 \Rightarrow W = \mathbb{R}$.
Gerade Exponenten: $f(-x) = f(x)$.
Ungerade Exponenten: $f(-x) = -f(x)$.
$n > 0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty} x^n = \infty$.
$n < 0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty} x^n = 0$.
$n > 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} x^n = 0$.
$n < 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} x^n = \pm \infty$.
$x^n = 0 \Rightarrow x = 0$ für $n > 0$.
Keine Nullstelle für $n < 0$.
$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$.
Gültig für alle differenzierbaren Potenzfunktionen.
$f'(x)$ gibt die momentane Änderungsrate an.
Bestimmt das Monotonieverhalten.
$f''(x) = n(n-1) \cdot x^{n-2}$.
$f''(x)$ beschreibt die Krümmung.
Bestimmt konvexes oder konkaves Verhalten.
Untersuche $f'(x)$.
$f'(x) > 0 \Rightarrow$ Funktion steigt.
$f'(x) < 0 \Rightarrow$ Funktion fällt.
Bestimmung durch $f'(x) = 0$.
$n \cdot x^{n-1} = 0 \Rightarrow x = 0$ (falls $n > 1$).
Über $f''(x)$.
$f''(x) > 0 \Rightarrow$ Minimum.
$f''(x) < 0 \Rightarrow$ Maximum.
$f(x) = x^2$.
$f'(x) = 2x$.
$f''(x) = 2$.
Minimum bei $x=0$.
$f(x) = x^3$.
$f'(x) = 3x^2$.
$f''(x) = 6x$.
Kein Extremum bei $x=0$.
Bestimmung durch $f''(x) = 0$.
$n(n-1)x^{n-2} = 0 \Rightarrow x = 0$ (für $n \geq 3$).
Vorzeichenwechsel notwendig.
$f(x) = x^3$ hat Wendepunkt bei $(0,0)$.
$f''(x) > 0 \Rightarrow$ konvex.
$f''(x) < 0 \Rightarrow$ konkav.
$f(x) = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$.
$f'(x) = -n x^{-n-1}$.
$f''(x) = n(n+1)x^{-n-2}$.
Vertikale Asymptote bei $x=0$ für $n<0$.
Horizontale Asymptote: $y=0$.
$f(x)=x^{\frac{p}{q}}$.
$f'(x)=\dfrac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}$.
$f(x)=a x^n$ verändert Steigung und Krümmung.
$a>0$ → keine Spiegelung.
$a<0$ → Spiegelung an $x$-Achse.
Gerade $n$: U-Form.
Ungerade $n$: S-Form.
$f'(x)$ beschreibt Steigung.
$f''(x)$ beschreibt Krümmung.
Berechnung von Ableitungen.
Bestimmung von Extremstellen und Wendepunkten.
Untersuchung von Graphen.
Funktion gegeben.
Ableitungen berechnen.
Nullstellen bestimmen.
Interpretation durchführen.
$f(x)=x^n$.
$f'(x)=n x^{n-1}$.
$f''(x)=n(n-1)x^{n-2}$.
Extremstellen über $f'(x)$.
Krümmung über $f''(x)$.
Potenzregel.
Zweite Ableitung bestimmt Krümmung.
Extrem- und Wendestellen analysierbar.