Eine quadratische Funktion hat die Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \neq 0$.
$a,b,c \in \mathbb{R}$ sind Konstanten.
Der Graph ist eine Parabel.
Öffnung nach oben für $a > 0$.
Öffnung nach unten für $a < 0$.
Definitionsbereich: $D = \mathbb{R}$.
Wertebereich abhängig vom Scheitelpunkt.
$f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S$.
$(x_S,y_S)$ ist der Scheitelpunkt.
$x_S = -\dfrac{b}{2a}$.
$y_S = f(x_S)$.
Umformung durch quadratische Ergänzung.
Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden $x = x_S$.
Lösung von $ax^2 + bx + c = 0$.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
$D = b^2 - 4ac$.
$D > 0$: zwei Nullstellen.
$D = 0$: eine doppelte Nullstelle.
$D < 0$: keine reellen Nullstellen.
$f(0) = c$.
$f'(x) = 2ax + b$.
Dies ist eine lineare Funktion.
$f'(x)$ gibt die Steigung der Tangente an.
Sie beschreibt das Monotonieverhalten.
$f''(x) = 2a$.
Dies ist eine konstante Funktion.
$f''(x)$ beschreibt die Krümmung.
Konstante Krümmung bei Parabeln.
Bestimmung durch $f'(x) = 0$.
$2ax + b = 0$.
$x = -\dfrac{b}{2a}$.
Die Extremstelle entspricht dem Scheitelpunkt.
Also: $x_S = -\dfrac{b}{2a}$.
$f''(x) = 2a$.
$2a > 0 \Rightarrow$ Minimum.
$2a < 0 \Rightarrow$ Maximum.
Für $x < x_S$: Funktion fällt oder steigt abhängig von $a$.
Für $x > x_S$: umgekehrtes Verhalten.
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
$a > 0 \Rightarrow$ konvex.
$a < 0 \Rightarrow$ konkav.
Quadratische Funktionen besitzen keine Wendepunkte.
Da $f''(x)$ konstant ist.
$|a|$ groß → schmale Parabel.
$|a|$ klein → breite Parabel.
Verschiebt den Scheitelpunkt in $x$-Richtung.
Verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.
$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
$x_1,x_2$ sind Nullstellen.
Nullstelle von $f'(x)$ entspricht Extremstelle von $f(x)$.
$f(x)=x^2$.
$f'(x)=2x$.
$f''(x)=2$.
Minimum bei $x=0$.
Bestimmung von Extremstellen.
Analyse von Steigung und Krümmung.
Bestimmung von Scheitelpunkt und Nullstellen.
Untersuchung des Monotonieverhaltens.
Berechnung von Tangenten.
Funktion gegeben.
Ableitung berechnen.
Extremstelle bestimmen.
Klassifikation durchführen.
$f(x)=ax^2+bx+c$.
$f'(x)=2ax+b$.
$f''(x)=2a$.
Scheitelpunkt bei $x=-\dfrac{b}{2a}$.
Parabel.
Eine Extremstelle.
Konstante Krümmung.