Die Steigung beschreibt die Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf die Variable $x$.
Sie gibt an, wie stark sich der Funktionswert $f(x)$ bei einer Änderung von $x$ verändert.
Für eine lineare Funktion $f(x) = mx + b$ ist die Steigung konstant.
Die Steigung ist der Parameter $m$.
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Dies ist die Steigung der Sekante durch zwei Punkte.
Er beschreibt die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten.
Er gibt die durchschnittliche Steigung an.
Die Steigung an einer Stelle ist die Steigung der Tangente.
Sie beschreibt die momentane Änderungsrate.
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Dies ist die exakte Steigung an der Stelle $x$.
Die Ableitung $f'(x)$ ist die Steigungsfunktion.
Sie gibt die Steigung für jedes $x$ an.
Sekante: Gerade durch zwei Punkte.
Tangente: Grenzfall der Sekante für $h \to 0$.
$f'(x) > 0 \Rightarrow$ Funktion steigt.
$f'(x) < 0 \Rightarrow$ Funktion fällt.
$f'(x) = 0 \Rightarrow$ waagerechte Tangente.
An Extremstellen gilt: $f'(x_0) = 0$.
Die Steigung ist dort null.
Positive Steigung: Graph steigt von links nach rechts.
Negative Steigung: Graph fällt von links nach rechts.
$m = 0$ bedeutet waagerechte Gerade.
Die Funktion ist konstant.
Die Änderung der Steigung wird durch $f''(x)$ beschrieben.
$f''(x) > 0 \Rightarrow$ Steigung nimmt zu.
$f''(x) < 0 \Rightarrow$ Steigung nimmt ab.
$f'(x) = m$ konstant.
Die Steigung ist überall gleich.
$f(x) = ax^2 + bx + c$.
$f'(x) = 2ax + b$.
Die Steigung ist linear abhängig von $x$.
$f(x) = x^n$.
$f'(x) = n x^{n-1}$.
Die Steigung hängt vom Exponenten und von $x$ ab.
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
$f'(x_0)$ ist die Steigung der Tangente.
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Anschauliche Darstellung durch ein Dreieck im Koordinatensystem.
Einheit: $\dfrac{\text{Einheit von } y}{\text{Einheit von } x}$.
Beispiel: $\dfrac{m}{s}$ bei Weg-Zeit-Funktion.
$s(t)$ → Ort.
$v(t) = s'(t)$ ist die Steigung des Ort-Zeit-Graphen.
Mittlere Steigung: Differenzenquotient.
Momentane Steigung: Ableitung.
Ableitung bilden.
Stelle einsetzen.
Ergebnis ist die Steigung.
$m = \tan(\alpha)$.
$\alpha$ ist der Steigungswinkel zur $x$-Achse.
$m > 1$ → steile Gerade.
$0 < m < 1$ → flache Gerade.
$m < 0$ → fallende Gerade.
Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind.
$m_1 = m_2$.
Geraden sind orthogonal, wenn gilt:
$m_1 \cdot m_2 = -1$.
Steigung bestimmt Verlauf des Graphen.
Wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion.
Berechnung der Steigung an einem Punkt.
Bestimmung von Tangenten.
Analyse des Monotonieverhaltens.
Funktion gegeben.
Ableitung berechnen.
Stelle einsetzen.
Interpretation durchführen.
Verwechslung von Differenzenquotient und Ableitung.
Falsches Einsetzen von Punkten.
Vorzeichenfehler.
Steigung ist die Änderungsrate.
Die Ableitung liefert die Steigung.
$f'(x)$ ist die Steigungsfunktion.
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
$f'(x)$ gibt die Steigung an.
Steigung bestimmt den Verlauf des Graphen.