Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph keine Sprünge, Lücken oder Unterbrechungen besitzt.
Anschaulich: Der Graph kann ohne Absetzen gezeichnet werden.
Eine Funktion $f$ ist stetig an der Stelle $x_0$, wenn gilt:
$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
$1.$ $f(x_0)$ ist definiert.
$2.$ $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existiert.
$3.$ $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Linksseitig stetig: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$.
Rechtsseitig stetig: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.
Beide müssen übereinstimmen für Stetigkeit.
$f$ ist stetig auf einem Intervall $I$, wenn sie an jeder Stelle $x \in I$ stetig ist.
Stetigkeit setzt die Existenz eines Grenzwertes voraus.
Der Grenzwert muss dem Funktionswert entsprechen.
Keine Sprünge oder Lücken im Graphen.
Keine abrupte Änderung.
Hebbare Unstetigkeit.
Sprungstelle.
Polstelle.
Grenzwert existiert, aber $f(x_0)$ ist nicht definiert oder falsch.
Behebbar durch geeignete Definition von $f(x_0)$.
Links- und rechtsseitige Grenzwerte sind verschieden.
Kein gemeinsamer Grenzwert.
$\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty$.
Unstetigkeit mit unbeschränktem Verhalten.
Polynomfunktionen sind für alle $x \in \mathbb{R}$ stetig.
Stetig für alle $x$, für die der Nenner $\neq 0$ ist.
Exponentialfunktionen sind überall stetig.
Stetig im jeweiligen Definitionsbereich.
Summe stetiger Funktionen ist stetig.
Produkt stetiger Funktionen ist stetig.
Quotient stetiger Funktionen ist stetig, wenn Nenner $\neq 0$.
Ist $g$ stetig in $x_0$ und $f$ stetig in $g(x_0)$, dann ist $f(g(x))$ stetig.
Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.
Stetigkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit.
$f(x) = |x|$ ist stetig, aber nicht differenzierbar bei $x=0$.
Ist $f$ stetig auf $[a,b]$, dann nimmt sie jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an.
Wechselt eine stetige Funktion ihr Vorzeichen, besitzt sie eine Nullstelle.
Stetigkeit ermöglicht numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung.
Stetigkeit kann auch einseitig betrachtet werden.
Stetigkeit prüfen durch Vergleich der Grenzwerte an Übergangsstellen.
Gegeben $f(x)$ mit verschiedenen Definitionen.
Prüfe $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ und $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
Schritt $1$: Funktionswert bestimmen.
Schritt $2$: Grenzwert berechnen.
Schritt $3$: Vergleich durchführen.
Prüfung der Stetigkeit.
Bestimmung von Definitionslücken.
Analyse von Graphen.
Grenzwert nicht berechnet.
Funktionswert nicht überprüft.
Definitionsbereich ignoriert.
$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ ist zentrale Bedingung.
Stetige Funktionen haben keine Sprünge.
Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.
Stetigkeit = keine Unterbrechung.
Grenzwert = Funktionswert.
Überall prüfbar im Definitionsbereich.