Symmetrie beschreibt die Eigenschaft eines Graphen, bei bestimmten Spiegelungen oder Drehungen unverändert zu bleiben.
Sie ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Analyse von Funktionen.
Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn gilt:
$f(-x) = f(x)$.
Solche Funktionen heißen gerade Funktionen.
Graph ist spiegelsymmetrisch zur $y$-Achse.
Werte links und rechts sind gleich.
$f(x) = x^2$.
$f(x) = x^4$.
$f(x) = \cos(x)$.
Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt:
$f(-x) = -f(x)$.
Solche Funktionen heißen ungerade Funktionen.
Graph ist rotationssymmetrisch um den Ursprung.
Vorzeichen wechseln bei $x \to -x$.
$f(x) = x^3$.
$f(x) = x$.
$f(x) = \sin(x)$.
Setze $x$ durch $-x$ in $f(x)$ ein.
Vergleiche $f(-x)$ mit $f(x)$ und $-f(x)$.
Wenn weder $f(-x)=f(x)$ noch $f(-x)=-f(x)$ gilt, besitzt die Funktion keine Symmetrie.
Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch.
Nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch.
Mischung → keine Symmetrie.
Bei punktsymmetrischen Funktionen gilt:
Ist $x_0$ Nullstelle, dann auch $-x_0$.
Ist $f$ gerade, dann ist $f'$ ungerade.
Ist $f$ ungerade, dann ist $f'$ gerade.
Gerade Funktion: $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$.
Ungerade Funktion: $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$.
$f(x)=e^x$ ist weder gerade noch ungerade.
$\cos(x)$ ist gerade.
$\sin(x)$ ist ungerade.
Eine verschobene Funktion kann Symmetrie zu einer Geraden $x = a$ besitzen.
Beispiel: $f(x) = (x-a)^2$.
Eine Funktion ist symmetrisch zu $x=a$, wenn gilt:
$f(a+x) = f(a-x)$.
Eine Funktion ist punktsymmetrisch zu $(a,b)$, wenn gilt:
$f(a+x) - b = -(f(a-x) - b)$.
Quadratische Funktionen sind symmetrisch zur Achse durch den Scheitelpunkt.
Symmetrie vereinfacht die Untersuchung.
Es genügt oft, nur einen Teil des Graphen zu betrachten.
Achsensymmetrie: Spiegelung an einer Geraden.
Punktsymmetrie: Drehung um $180^\circ$.
$f(x) = |x|$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
Symmetrie abhängig vom Term.
Prüfung durch Einsetzen von $-x$.
Prüfung auf Symmetrie.
Bestimmung von Symmetrieachsen.
Vereinfachung von Berechnungen.
Funktion gegeben.
$f(-x)$ berechnen.
Vergleich durchführen.
Symmetrie bestimmen.
Vorzeichenfehler bei $f(-x)$.
Unvollständiger Vergleich.
Symmetrie falsch interpretiert.
$f(-x)=f(x)$ → gerade Funktion.
$f(-x)=-f(x)$ → ungerade Funktion.
Symmetrie erleichtert Analyse.
Achsensymmetrie: $f(-x)=f(x)$.
Punktsymmetrie: $f(-x)=-f(x)$.
Einsetzen von $-x$ prüfen.