Eine Wendestelle ist eine Stelle $x_0$, an der sich die Krümmung einer Funktion ändert.
Der zugehörige Punkt $(x_0,f(x_0))$ heißt Wendepunkt.
An einer Wendestelle wechselt der Graph von konvex zu konkav oder umgekehrt.
Die Krümmung ändert ihr Vorzeichen.
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung.
Wendestellen liegen bei möglichen Nullstellen von $f''(x)$.
$f''(x_0) = 0$.
Dies ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung.
Es muss ein Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ bei $x_0$ vorliegen.
Wenn $f''(x_0) = 0$ und $f'''(x_0) \neq 0$, dann liegt eine Wendestelle vor.
Schritt $1$: Berechne $f''(x)$.
Schritt $2$: Setze $f''(x) = 0$.
Schritt $3$: Bestimme die Lösungen $x_0$.
Schritt $4$: Prüfe Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ oder berechne $f'''(x_0)$.
Berechne $y_0 = f(x_0)$.
Der Wendepunkt ist $(x_0,y_0)$.
Der Graph ändert seine Biegung.
Die Tangente schneidet den Graphen im Wendepunkt.
$f''(x) > 0 \Rightarrow$ Steigung nimmt zu.
$f''(x) < 0 \Rightarrow$ Steigung nimmt ab.
An der Wendestelle wechselt dieses Verhalten.
Die erste Ableitung hat an der Wendestelle ein Extremum.
$f'(x)$ besitzt dort ein Maximum oder Minimum.
Ein Sattelpunkt ist eine Wendestelle mit waagerechter Tangente.
Es gilt: $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) = 0$.
Extrempunkt: $f'(x_0)=0$ und kein Krümmungswechsel erforderlich.
Wendepunkt: Krümmungswechsel, aber keine notwendige Bedingung für $f'(x_0)=0$.
$f(x) = x^3$.
$f''(x) = 6x$.
$f''(x)=0 \Rightarrow x_0=0$.
Vorzeichenwechsel vorhanden → Wendestelle.
$f(x) = x^4$.
$f''(x) = 12x^2$.
$f''(0)=0$, aber kein Vorzeichenwechsel → keine Wendestelle.
Links von $x_0$: z.B. konvex.
Rechts von $x_0$: z.B. konkav.
Der Graph wechselt die "Biegung".
Der Verlauf ändert sich sichtbar.
Polynome dritten Grades besitzen mindestens eine Wendestelle.
Polynome zweiten Grades besitzen keine Wendestelle.
$f(x)=x^n$ mit $n \geq 3$ kann Wendestellen besitzen.
Wendestelle ist Übergangspunkt zwischen konvex und konkav.
Wendestellen sind wichtige charakteristische Punkte.
Sie beschreiben die Form des Graphen.
Bestimmung von Wendestellen.
Analyse der Krümmung.
Graphenuntersuchung.
Funktion gegeben.
Zweite Ableitung berechnen.
Nullstellen bestimmen.
Vorzeichenwechsel prüfen.
Punkt berechnen.
Untersuche $f''(x)$ in Intervallen.
Bestimme Krümmungswechsel.
$f''(x)=0$ wird ohne Prüfung als Wendestelle angenommen.
Vorzeichenwechsel wird nicht überprüft.
Verwechslung mit Extremstellen.
$f''(x_0)=0$ ist notwendige Bedingung.
Vorzeichenwechsel ist entscheidend.
Wendestellen zeigen Krümmungswechsel.
Wendestelle: Krümmungswechsel.
$f''(x)=0$ prüfen.
Vorzeichenwechsel notwendig.