Was ist Gravitation?

Gravitation ist eine fundamentale Wechselwirkung zwischen Massen. Sie beschreibt die universelle Anziehung zwischen allen Objekten mit Energie bzw. Masse.

1. Grunddefinition der Gravitation

Newtonsche Gravitation

Die Newtonsche Gravitation wurde von Isaac Newton im 17. Jahrhundert formuliert. Sie beschreibt die Gravitation als gegenseitige Anziehungskraft zwischen zwei Massen. Jede Masse zieht jede andere Masse an.

Die Stärke der Gravitationskraft hängt von den beiden Massen und ihrem Abstand ab. Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet: $F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der beiden Körper und nimmt mit wachsendem Abstand quadratisch ab. Die Newtonsche Theorie erklärt sehr genau die Bewegungen von Planeten, Monden und Satelliten.

Ein wichtiges Beispiel ist die Umlaufbewegung der Erde um die Sonne. Die Gravitation der Sonne liefert die notwendige Zentralkraft, damit die Erde auf ihrer Bahn bleibt.

Ein weiteres Beispiel ist der freie Fall auf der Erde. Alle Körper werden durch die Erdgravitation zum Erdmittelpunkt beschleunigt und fallen deshalb nach unten.

Die klassische Beschreibung lautet: $\boxed{\vec{F}_{12} = G \dfrac{m_1 m_2}{r_{12}^2}}$

In Vektorschreibweise: $\boxed{\vec{F}_{12} = G \dfrac{m_1 m_2}{r_{12}^3}\vec{r}_{12}}$

• $F_{12}$: Gravitationskraft von Masse 1 auf Masse 2
• $G \approx 6{,}674 \cdot 10^{-11} \, \mathrm{m^3 \, kg^{-1} \, s^{-2}}$
• $m_1, m_2$: Massen
• $\vec{r}_{12}$: Abstand und Richtung der Schwerpunkte

👉 Eigenschaften:

• immer anziehend
• wirkt entlang der Verbindungslinie
• folgt einem $1/r^2$-Gesetz

2. Eigenschaften der Gravitation

2.1 Universalität

Gravitation wirkt zwischen allen Massen.

• Beispiel:

  • Erde–Apfel
  • Erde–Mond
  • zwei Menschen (extrem schwach)

👉 Kraft zwischen Apfel und Erde

• $m_A = 1 ~\mathrm{kg}$
• $m_M = 100 ~\mathrm{kg}$
• $r = 1 ~ \mathrm{m}$
• $F = 6{.}7 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{100 \cdot 1}{1^2} \mathrm{N}$
• $F = 6{.}7 \cdot 10^{-9} ~\mathrm{N}$
  $\rightarrow$ praktisch nicht spürbar

👉 Kraft zwischen zwei Menschen (auf der Erde oder im Weltall)

• $m_1 = m_2 = 100 ~\mathrm{kg}$
• $r = 1 ~ \mathrm{m}$
• $F = 6{.}7 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{100^2}{1^2} \mathrm{N}$
• $F = 6{.}7 \cdot 10^{-7} ~\mathrm{N}$
  $\rightarrow$ praktisch nicht spürbar

👉 Kraft zwischen Mensch und Erde

• $m_E = 6 \cdot 10^{24} ~\mathrm{kg}$

• $m_M = 100 ~\mathrm{kg}$

• $r = 6400000 ~ \mathrm{m} = 6.4 \cdot 10^{6} ~ \mathrm{m}$

• $F \approx 6.7 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{100 \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6.4 \cdot 10^{6} \cdot 6.4 \cdot 10^{6}} \mathrm{N} $

• $F \approx \dfrac{10^{-11} \cdot 10^2 \cdot 10^{24}}{ 10^{6} \cdot 10^{6}} \mathrm{N} $

• $F \approx 10^3 ~ \mathrm{N}$
  $\rightarrow$ Mensch wird auf Erde festgehalten
  (Mensch als “träge” Masse unterliegt der Beschleunigung der Erde)

Vergleich:

• mit $g = 9.81 m/s^2 \approx 10 m/s^2~~$ und $~~F = m \cdot g$
  
• folgt für einen $100 ~\mathrm{kg}$ Menschen:
  $F = 100 \cdot 10 ~\mathrm{N} = 1000 ~\mathrm{N} = 10^3 ~\mathrm{N}$
  $\rightarrow$ gleiches Ergebnis !
  (Mensch als “schwere” Masse unterliegt der Schwerefeld der Erde)!

👉 Kraft zwischen Mond und Erde: $F \approx 2 \cdot 10^{20} ~ \mathrm{N}$

👉 Kraft zwischen Sonne und Erde: $F \approx 3 \cdot 10^{22} ~ \mathrm{N}$

👉 Kraft zwischen zwei Sonnen: $F \approx 2 \cdot 10^{28} ~ \mathrm{N}$

👉 Kraft zwischen Schwarzem Loch und Sonne: $F \approx 2 \cdot 10^{28} ~ \mathrm{N}$

👉 Kraft zwischen zwei umkreisenden Schwarzen Löchern: $F \approx 3 \cdot 10^{32} ~ \mathrm{N}$

2.2 Langreichweitige Kraft

Die Gravitation ist eine langreichweitige Kraft, weil ihre Wirkung theoretisch bis ins Unendliche reicht. Anders als manche andere Wechselwirkungen besitzt sie keine feste Reichweitengrenze. Ihre Stärke nimmt zwar mit dem Quadrat des Abstandes ab, verschwindet aber niemals vollständig.

Die Stärke der Gravitationskraft wird durch das Newtonsche Gravitationsgesetz beschrieben: $ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$
Mit größerem Abstand $r$ wird die Kraft kleiner, bleibt jedoch immer vorhanden.

Wegen ihrer großen Reichweite bestimmt die Gravitation die Struktur des gesamten Universums. Sie hält Planeten auf ihren Bahnen, bindet Sterne in Galaxien und beeinflusst sogar die Bewegung von Galaxienhaufen.

Ein Beispiel ist die Gravitation der Sonne. Obwohl die Erde etwa $150$ Millionen Kilometer entfernt ist, hält die Anziehungskraft der Sonne die Erde dauerhaft auf ihrer Umlaufbahn.

Ein weiteres Beispiel sind Galaxien. Sterne innerhalb einer Galaxie beeinflussen sich gegenseitig gravitativ über enorme Entfernungen von vielen Lichtjahren hinweg.

👉 Eigenschaften:

• Reichweite: unendlich
• keine Abschirmung möglich

👉 Beispiel:

• Gravitation wirkt bis zu Galaxienentfernungen
• Planeten beeinflussen sich gegenseitig (Störungsrechnung)

2.3 Superpositionsprinzip

Das Superpositionsprinzip besagt, dass sich mehrere Gravitationsfelder oder Gravitationskräfte einfach addieren. Wirkt auf einen Körper die Gravitation mehrerer Massen gleichzeitig, so ergibt sich die gesamte Kraft als Vektorsumme aller Einzelkräfte.

Gesamtkraft ist Summe aller vektoriellen Einzelkräfte: $\vec{F}_{\text{gesamt}} = \sum\limits_i \vec{F}_i$

Für zwei Massen gilt beispielsweise: $\vec F_{\mathrm{ges}}=\vec F_1+\vec F_2$

Dasselbe gilt auch für Gravitationsfelder und Potentiale. Die Gesamtwirkung eines Systems entsteht durch die Überlagerung aller einzelnen Beiträge. Dadurch können komplexe Bewegungen in Planetensystemen, Sternhaufen oder Galaxien berechnet werden.

Das Gravitationspotential mehrerer Massen ergibt sich aus der Summe der Einzelpotentiale: $\varphi_{\mathrm{ges}}=\sum_i\varphi_i$

👉 Beispiel:
• Ein wichtiges Beispiel ist das Erde-Mond-System. Auf einen Satelliten wirken gleichzeitig die Gravitationsfelder von Erde und Mond. Die tatsächliche Bahn des Satelliten ergibt sich aus der Überlagerung beider Gravitationswirkungen.
• Ein weiteres Beispiel sind die Gezeiten der Erde. Ebbe und Flut entstehen durch die kombinierte Gravitationswirkung von Mond und Sonne auf die Ozeane der Erde. Wasser der Erde wird gleichzeitig von Sonne, Mond und Erde angezogen: Springfluten!

2.4 Zentral- und konservative Kraft

Die Gravitationskraft ist eine Zentralkraft, weil sie immer entlang der Verbindungslinie zwischen zwei Massen wirkt. Die Kraft zeigt dabei stets zum Mittelpunkt der anziehenden Masse. Deshalb bewegen sich Planeten, Monde und Satelliten auf Bahnen um ein Zentrum.

Die Gravitationskraft ist außerdem eine konservative Kraft. Das bedeutet, dass die verrichtete Arbeit nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt, nicht vom zurückgelegten Weg. Dadurch bleibt die mechanische Gesamtenergie erhalten.

Zu jeder konservativen Kraft gehört ein Potential. Das Gravitationspotential beschreibt die potenzielle Energie pro Masseeinheit im Gravitationsfeld: $\varphi=-\dfrac{GM}{r}$

Die potenzielle Energie eines Körpers im Gravitationsfeld lautet entsprechend: $E_{\mathrm{pot}}=-\frac{GMm}{r}$
Das negative Vorzeichen zeigt, dass Energie aufgebracht werden muss, um einen Körper aus dem Gravitationsfeld zu entfernen.

Eigenschaften des Gravitationspotentials sind:

• es hängt nur von der Lage im Feld ab,
• es ist kugelsymmetrisch um die Masse verteilt,
• es wird mit wachsendem Abstand größer und nähert sich Null an,
• starke Gravitationsfelder besitzen stark negative Potentialwerte.

Ein Beispiel ist die Umlaufbahn eines Satelliten um die Erde. Der Satellit bewegt sich ständig im Gravitationspotential der Erde. Ändert sich seine Geschwindigkeit oder Höhe, ändern sich auch seine kinetische und potenzielle Energie sowie seine Bahnform.

👉 Eigenschaften: Gravitation ist eine Zentralkraft:

• Kraft parallel zum Wirkrichtung : $\vec{F}(\vec{r}) \parallel \vec{r}$
  - $\vec{F}(\vec{r})$ ist
• konservativ
  $\Rightarrow$ es existiert ein
• Potential: $U(r) = - G \dfrac{m_1 m_2}{r}$

• Energieerhaltung gilt
• verrichtete Arbeit zwischen zwei Orten ist vom Weg unabhängig

👉 Beispiel:

• Satellit in elliptischer Bahn $\rightarrow$ Gesamtenergie konstant und damit
• aktuelle Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie konstant

2.5 Gravitationsfeld

Ein Gravitationsfeld beschreibt den Raum um eine Masse, in dem auf andere Körper eine Gravitationskraft wirkt. Jeder Körper mit Masse erzeugt ein solches Feld. Die Stärke des Feldes nimmt mit zunehmendem Abstand von der Masse ab.

Auf der Erde zeigt das Gravitationsfeld nahezu überall zum Erdmittelpunkt. Nahe der Erdoberfläche ist die Feldstärke fast konstant und entspricht der Erdbeschleunigung: $g\approx9{.}81 ~\mathrm{m/s^2}$
entsprechend der Definition: $~~\vec{g}(\vec{r}) = \dfrac{\vec{F}}{m}$
Dadurch fallen Körper nach unten und besitzen ein Gewicht.

Allgemein wird die Stärke eines Gravitationsfeldes durch die Feldstärke beschrieben: $g=\frac{GM}{r^2}$
Dabei ist $M$ die erzeugende Masse und $r$ der Abstand vom Mittelpunkt dieser Masse.

Gravitationsfelder bestimmen die Bewegungen von Planeten, Monden, Sternen und Galaxien. Große Massen erzeugen starke Felder, kleine Massen entsprechend schwächere Felder.

Ein Beispiel ist das Gravitationsfeld der Erde, das den Mond auf seiner Umlaufbahn hält. Ein weiteres Beispiel ist das starke Gravitationsfeld eines Schwarzen Lochs, aus dessen Nähe selbst Licht nicht mehr entkommen kann.

Für eine Punktmasse gilt: - konstantes Schwerefeld der Erde (Meeresniveau):
$~~~g(R_{erde}) = G \dfrac{M}{R_{erde}^2} = 9.81 m/s^2$
- ortsabhängiges Schwerefeld der Erde:
$~~~g(r) = G \dfrac{M}{r^2}$


👉 Beispiel Erde: $g \approx 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2}$

2.6 Äquivalenzprinzip

Das Äquivalenzprinzip ist eine grundlegende Aussage der Gravitationstheorie. Es besagt, dass träge Masse und schwere Masse exakt gleich sind. Deshalb fallen im Vakuum alle Körper unabhängig von ihrer Masse gleich schnell.

Die träge Masse beschreibt den Widerstand eines Körpers gegen eine Beschleunigung. Sie erscheint im zweiten Newtonschen Gesetz: $F=m_{\mathrm{tr}}a$

Die schwere Masse beschreibt dagegen, wie stark ein Körper von der Gravitation beeinflusst wird: $F_G=m_{\mathrm{sch}}g$

Experimentell zeigt sich: (beschleunigte) träge Masse und (gewogene) schwere Masse sind gleich:
$m_{\text{träge}} = m_{\text{schwere}}$
Dadurch besitzen alle Körper im selben Gravitationsfeld dieselbe Fallbeschleunigung.

Ein bekanntes Beispiel ist der freie Fall eines Hammers und einer Feder auf dem Mond. Ohne Luftwiderstand(Mond!) fallen beide gleichzeitig auf die Oberfläche. Dieses Experiment wurde bei den Apollo-Missionen durchgeführt und bestätigte das Äquivalenzprinzip eindrucksvoll.

Einstein nutzte das Äquivalenzprinzip als Ausgangspunkt für die Allgemeine Relativitätstheorie. Nach dieser Theorie sind Gravitation und beschleunigte Bewegung lokal physikalisch gleichwertig.

👉 Konsequenz:

• alle Körper fallen gleich schnell (ohne Luftwiderstand)

👉 Beispiel:

• Hammer und Feder auf dem Mond

2.7 Bahnbewegung (Kepler + Newton)

Die Bahnbewegung von Planeten, Monden und Satelliten entsteht durch das Zusammenwirken von Trägheit und Gravitation. Ein Körper bewegt sich aufgrund seiner Geschwindigkeit geradeaus weiter, wird aber gleichzeitig durch die Gravitationskraft ständig zur Zentralmasse hingezogen. Dadurch entstehen Umlaufbahnen.

Johannes Kepler beschrieb die Bahnbewegungen der Planeten durch seine drei Gesetze. Newton erklärte später diese Gesetze mithilfe seines Gravitationsgesetzes: $F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$
Die Gravitationskraft liefert dabei die notwendige Zentralkraft für die Umlaufbewegung.

Für eine Kreisbahn gilt das Gleichgewicht zwischen Gravitationskraft und Zentripetalkraft: $\dfrac{mv^2}{r}=G\dfrac{Mm}{r^2}$
Daraus ergibt sich die Umlaufgeschwindigkeit eines Körpers um eine Zentralmasse.

Ein wichtiges Beispiel ist die Bewegung der Erde um die Sonne. Die Erde besitzt eine hohe Geschwindigkeit entlang ihrer Bahn, während die Gravitation der Sonne sie ständig zur Sonne hin ablenkt. Dadurch entsteht eine elliptische und nahezu kreisförmige Umlaufbahn statt eines geradlinigen Fluges.

Gravitation liefert die Zentripetalkraft:

$\dfrac{m v^2}{r} = G \dfrac{M \cdot m}{r^2}$ $~~~\Rightarrow~~~$ $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$ (Bahngeschwindigkeit)

👉 Beispiel:

• Erde um Sonne
• Satellit um Erde
• Mond um Erde
• Sonne um Galaktisches Zentrum

2.8 Fluchtgeschwindigkeit

Die Fluchtgeschwindigkeit ist die minimale Geschwindigkeit, die ein Körper benötigt, um ein Gravitationsfeld dauerhaft zu verlassen, ohne weiteren Antrieb. Sie ergibt sich aus dem Gleichgewicht zwischen kinetischer und potenzieller Energie.
Allgemein gilt: $v_{\mathrm{Flucht}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$

Für die Erde beträgt die Fluchtgeschwindigkeit an der Oberfläche etwa: $v_{\mathrm{Erde}}\approx11{.}2~\mathrm{km/s}$
Eine Rakete muss mindestens diese Geschwindigkeit erreichen, um das Gravitationsfeld der Erde ohne weiteren Antrieb zu verlassen.

Für die Sonne ist die notwendige Geschwindigkeit deutlich grösser:
$v_{\mathrm{Sonne}}\approx617~\mathrm{km/s}$
In der Nähe der Sonnenoberfläche wäre daher eine extrem hohe Energie erforderlich, um dem Schwerefeld der Sonne zu entkommen.

Um die Milchstrasse zu verlassen, benötigt ein Objekt in der Umgebung des Sonnensystems ungefähr:
$v_{\mathrm{Galaxis}}\approx500\text{ bis }600 ~\mathrm{km/s}$
Einige Sterne bewegen sich mit solchen Geschwindigkeiten und können dadurch aus der Galaxis herausgeschleudert werden.

Eine eindeutige Fluchtgeschwindigkeit aus dem gesamten Universum gibt es nach heutigem Verständnis nicht. Das Universum besitzt keine bekannte äussere Grenze, aus der man „entkommen“ könnte. Ausserdem dehnt sich der Raum selbst aus. Daher wird in der modernen Kosmologie eher untersucht, ob die Expansion des Universums dauerhaft anhält oder sich irgendwann verändert.

Geschwindigkeit um das Schwerefeld einer Masse zu verlassen:


👉 Beispiele:

• Erde: $\approx 11{.}2 ~ \mathrm{km/s}$
• Mond: $\approx 2{.}4 ~ \mathrm{km/s}$
• Sonne: $\approx 617 ~ \mathrm{km/s}$
• Galaxis: $\approx 500 .. 600 ~ \mathrm{km/s}$

2.9 Energie der Gravitation

In einem Gravitationsfeld besitzen Körper sowohl potenzielle als auch kinetische Energie. Die potenzielle Energie entsteht durch die Lage eines Körpers im Gravitationsfeld, während die kinetische Energie von seiner Bewegung abhängt. Beim Fallen oder Umlaufen wird ständig zwischen beiden Energieformen umgewandelt.

Die kinetische Energie eines Körpers lautet: $E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}mv^2$
und die potenzielle Gravitationsenergie beträgt näherungsweise nahe der Erdoberfläche: $E_{\mathrm{pot}}=mgh$

Bei Planeten und Satelliten bestimmt die Gesamtenergie die Form der Bahnkurve. Negative Gesamtenergie führt zu gebundenen Bahnen wie Kreis- oder Ellipsenbahnen. Bei genügend grosser Energie entstehen offene Bahnen wie Parabeln oder Hyperbeln.

Ein Beispiel ist ein Satellit um die Erde. In Erdnähe besitzt er grosse kinetische Energie durch seine hohe Umlaufgeschwindigkeit und gleichzeitig negative potenzielle Energie im Gravitationsfeld der Erde. Ändert sich seine Geschwindigkeit, verändert sich auch seine Bahnform.

Gesamtenergie:

$E = \dfrac{1}{2} m v^2 - G \dfrac{M m}{r}$

👉 Interpretation:

• $E < 0$ $\rightarrow$ gebundene Bahn (Ellipse)
• $E = 0$ $\rightarrow$ Parabel
• $E > 0$ $\rightarrow$ Hyperbel

2.10 Allgemeine Relativitätstheorie ART(Einstein)

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) wurde 1915 von Albert Einstein formuliert. Sie beschreibt die Gravitation nicht mehr als gewöhnliche Kraft, sondern als Krümmung der Raumzeit durch Masse und Energie. Körper bewegen sich deshalb auf gekrümmten Bahnen in der Raumzeit.

Die mathematische Grundlage der ART ist die Einstein-Gleichung: $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$
Sie verknüpft die Krümmung der Raumzeit mit der Verteilung von Masse und Energie.

Die ART erklärt viele physikalische Phänomene genauer als die klassische Newtonsche Gravitation. Dazu gehören die Ablenkung von Licht im Gravitationsfeld, Periheldrehung des Merkur, Gravitationswellen, Schwarze Löcher und die Gravitationszeitdilatation.

Ein wichtiges Beispiel ist die Ablenkung des Sternenlichts durch die Sonne. Während einer Sonnenfinsternis wurde beobachtet, dass Lichtstrahlen entfernter Sterne durch die gekrümmte Raumzeit nahe der Sonne leicht abgelenkt werden. Dieses Experiment bestätigte Einsteins Theorie erstmals eindrucksvoll.

Ein weiteres praktisches Beispiel sind GPS-Systeme. Die Zeitkorrekturen der Satelliten müssen mit den Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie berechnet werden, damit Navigationssysteme präzise funktionieren.

Einstein: Gravitation ist keine Kraft, sondern:

👉 die Krümmung der Raumzeit durch Masse

Grundgleichung:

$G_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

👉 Bedeutung:

• Masse/Energie krümmt Raumzeit
• Bewegung folgt Geodäten

👉 Beispiele:

• Lichtablenkung an der Sonne
• Gravitationswellen
• Schwarze Löcher

2.11 Gravitationszeitdilatation

Die Gravitationszeitdilatation ist eine Folge der Allgemeinen Relativitätstheorie. Sie beschreibt, dass Zeit in starken Gravitationsfeldern langsamer vergeht als in schwachen Gravitationsfeldern. Je grösser die Masse und je näher man sich an dieser Masse befindet, desto stärker ist dieser Effekt.

Für die Zeitdilatation in der Nähe einer kugelförmigen Masse gilt näherungsweise: $t'=t\sqrt{1-\dfrac{2GM}{rc^2}}$
Dabei ist $M$ die Masse des Körpers, $r$ der Abstand vom Mittelpunkt und $c$ die Lichtgeschwindigkeit.

Ein wichtiges Beispiel sind GPS-Satelliten. Die Uhren der Satelliten laufen wegen der geringeren Gravitation in grosser Höhe etwas schneller als Uhren auf der Erdoberfläche. Ohne die Berücksichtigung der Gravitationszeitdilatation würden Navigationssysteme bereits nach kurzer Zeit grosse Positionsfehler erzeugen.

In der Nähe Schwarzer Löcher wird die Zeitdilatation extrem stark. Für einen weit entfernten Beobachter scheinen Uhren nahe des Ereignishorizonts immer langsamer zu laufen. Direkt am Ereignishorizont steht die Zeit still!

Zeit unter Masseneinfluss vergeht langsamer als ohne: $~~t_{\text{nah}} < t_{\text{fern}}$

👉 Beispiel:

• Zeit relativ zum Beobachter:
  
  • (Eigen-)Zeit im Schwerefeld des Schwarzen Lochs vergeht “normal”
  • Für einen aussen stehenden Beobachter vergeht die Zeit in Nähe eines schwarzen Lochs langsamer
• GPS-Satelliten müssen relativistische Korrekturen berücksichtigen

2.12 Extrem schwache Wechselwirkung

Die Gravitation ist im Vergleich zu den anderen Grundkräften eine extrem schwache Wechselwirkung. Zwischen einzelnen Elementarteilchen ist ihre Wirkung praktisch vernachlässigbar. Trotzdem dominiert sie im Universum, weil sie **immer anziehend** wirkt und sich über **beliebig grosse Entfernungen** aufsummiert.

Besonders deutlich wird dies im Vergleich mit der elektromagnetischen Kraft zwischen zwei Protonen. Das Verhältnis beträgt ungefähr: $\dfrac{F_{\mathrm{Gravitation}}}{F_{\mathrm{Elektromagnetisch}}}\sim10^{-36}$
Die elektromagnetische Kraft ist also etwa $10^{36}$-mal stärker als die Gravitationskraft.

Ein Beispiel ist die Wechselwirkung zweier Elektronen. Die elektrische Abstossung zwischen ihnen ist so viel stärker als ihre gegenseitige Gravitation, dass die Gravitationswirkung im Alltag der Teilchenphysik keine Rolle spielt. Erst bei sehr grossen Massen, etwa bei Planeten, Sternen oder Galaxien, wird die Gravitation zur bestimmenden Kraft.

👉 Beispiel:

• Elektron-Elektron oder Proton–Proton Wechselwirkung

3. Typische Beispiele

3.1 Fallbewegung auf der Erde

Bei der Fallbewegung auf der Erde wirkt die Gravitationskraft der Erde auf alle Körper nach unten zum Erdmittelpunkt. Nahe der Erdoberfläche kann die Erdbeschleunigung als nahezu konstant angenommen werden. Sie beträgt ungefähr $g\approx 9{,}81,\mathrm{m/s^2}$
Dadurch nimmt die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers gleichmässig zu.

Für die Fallstrecke und die Geschwindigkeit bei konstantem freien Fall gelten die Beziehungen:
Beschleunigung : $a = g$
Geschwindigkeit : $v = g t$
Ort : $s = \dfrac{1}{2} g t^2$
Dabei ist $t$ die (fortschreitende) Fallzeit.

Mit zunehmender Höhe über der Erdoberfläche nimmt die Gravitationskraft langsam ab, weil der Abstand zum Erdmittelpunkt grösser wird. Die Erdbeschleunigung hängt daher vom Abstand $r$ zum Erdzentrum ab: $g(r)=\frac{GM}{r^2}$
In grossen Höhen, beispielsweise bei Satelliten, ist die Gravitationswirkung deshalb schwächer als auf der Erdoberfläche.

Im Schwerefeld der Erde gilt (näherungsweise für kleine Höhen):

3.2 Kreisbahn einer rotierenden Masse

Befindet sich eine Masse mit der richtigen Geschwindigkeit senkrecht zur Gravitationskraft, kann sie eine Kreisbahn bilden. Dabei wirkt die Gravitation als Zentralkraft und hält den Körper ständig auf seiner Umlaufbahn. Für die Bahngeschwindigkeit einer Kreisbahn gilt: $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
Dabei ist $M$ die Zentralmasse und $r$ der Bahnradius.

Umlaufbahnen von Himmelskörpern können verschiedene geometrische Formen besitzen. Bei gebundenen Bewegungen entstehen Ellipsenbahnen, wie sie die Planeten um die Sonne beschreiben. Die Ellipse ist daher die wichtigste Bahnform im Sonnensystem.

Erreicht ein Körper genau die notwendige Fluchtenergie, bewegt er sich auf einer Parabelbahn. Besitzt er noch mehr Energie, entsteht eine Hyperbelbahn. In diesem Fall nähert sich der Körper der Zentralmasse nur einmal an und verlässt das System anschliessend wieder dauerhaft. Solche Bahnen treten beispielsweise bei manchen Kometen oder interstellaren Objekten auf.

3.3 Planetenbewegung

Die Bewegung der Planeten wird durch die Gravitation der Sonne bestimmt. Jeder Planet bewegt sich auf einer Umlaufbahn um die Sonne, weil zwischen Sonne und Planet eine anziehende Gravitationskraft wirkt. Die Gravitation liefert dabei die notwendige Zentralkraft für die Bahnbewegung.

Johannes Kepler formulierte drei Gesetze der Planetenbewegung. Das erste Gesetz besagt, dass sich die Planeten auf elliptischen Bahnen bewegen, wobei die Sonne in einem Brennpunkt der Ellipse steht. Das zweite Gesetz beschreibt, dass ein Planet in Sonnennähe schneller und in grösserer Entfernung langsamer läuft. Das dritte Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen Umlaufzeit und Bahngrösse her: $T^2\propto a^3$
Dabei ist $T$ die Umlaufzeit und $a$ die grosse Halbachse der Planetenbahn.

Die Keplerschen Gesetze erklären die regelmässigen Bewegungen der Planeten im Sonnensystem und bilden eine wichtige Grundlage der Himmelsmechanik. Newton zeigte später, dass diese Gesetze direkt aus dem Gravitationsgesetz folgen.

3.4 Schwarze Löcher

Schwarze Löcher entstehen, wenn sehr grosse Massen so stark kollabieren, dass ihre Gravitation selbst Licht nicht mehr entkommen lässt. Sie besitzen daher eine Grenze, den sogenannten Ereignishorizont. Innerhalb dieses Bereichs ist die Raumzeit extrem gekrümmt, und alle bekannten physikalischen Prozesse werden von der Gravitation dominiert.

Der Schwarzschildradius beschreibt den Radius, bei dem eine Masse zu einem Schwarzen Loch wird. Er ergibt sich aus der Gleichung $r_s = \dfrac{2GM}{c^2}$ Dabei ist $G$ die Gravitationskonstante, $M$ die Masse des Körpers und $c$ die Lichtgeschwindigkeit. Wird ein Objekt kleiner als sein Schwarzschildradius zusammengedrückt, kann nichts mehr entweichen. Für die Erde liegt dieser Radius nur bei etwa $9~\mathrm{mm}$, für die Sonne bei ungefähr $3~\mathrm{km}$.

4. Zusammenfassung

Eigenschaft	Beschreibung
Universal	wirkt zwischen allen Massen
Attraktiv	wirkt immer anziehend
Langreichweitig	mit $1/r^2$ unendliche Reichweite
Konservativ	Energieerhaltung: $E_{gesamt} = E_{kinetisch} + E_{potentiell} = C$
Zentral	Kraft entlang Verbindung zweier Massen, Vektor
Relativistisch	Raumzeitkrümmung durch ART
Schwach	schwächste fundamentale Kraft



Homepage
Vorträge
Unser Sonnensystem