Eigenschaften der Gravitation

Gravitation ist die anziehende Wechselwirkung zwischen Massen.
Sie bestimmt den freien Fall auf der Erde, die Bewegung von Monden und Planeten, die Struktur von Sternsystemen und die Entstehung Schwarzer Löcher.

1. Newtonsche Gravitation

Eigenschaft

Jede Masse zieht jede andere Masse an.
Die Kraft ist proportional zu beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes:
$F_G = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
Dabei gilt: $G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$
$m_1$ und $m_2$ sind die Massen, $r$ ist der Abstand der Mittelpunkte.

Herleitungsidee

Aus Beobachtungen der Planetenbewegung wusste Newton: $F \sim m$
und aus Keplers drittem Gesetz folgt für Kreisbahnen: $T^2 \sim r^3$
Für eine Kreisbewegung gilt: $F_Z = m \dfrac{v^2}{r}$
Mit $v = \dfrac{2 \pi r}{T}$
folgt: $F_Z = m \dfrac{4 \pi^2 r^2}{T^2 r}$
$F_Z = m \dfrac{4 \pi^2 r}{T^2}$
Da $~T^2 \sim r^3~$ gilt: $~F_Z \sim \dfrac{m}{r^2}$
Also muss die Gravitationskraft mit $~1/r^2~$ abnehmen.

Beispiel: Erde zieht einen Menschen an

$m_1 = M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24} \mathrm{kg}$
$m_2 = 70 \mathrm{kg}$
$r = R_E = 6{.}371 \cdot 10^6 \mathrm{m}$
$F_G = G \dfrac{M_E m}{R_E^2}$
$F_G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 70}{(6{.}371 \cdot 10^6)^2}$
$F_G \approx 687 \mathrm{N}$
Das entspricht der Gewichtskraft eines Menschen mit $70 \mathrm{kg}$.

2. Gravitation ist immer anziehend

Eigenschaft

Zwischen gewöhnlichen positiven Massen wirkt Gravitation immer anziehend.
Es gibt keine bekannte negative Masse, die Gravitation abstoßend machen würde.
Die vektorielle Form lautet: $\vec{F}_{12} = -G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} \vec{e}_r$
Das Minuszeichen bedeutet: Die Kraft zeigt zur anderen Masse hin.

Beispiel

Erde und Mond ziehen sich gegenseitig an.
Die Erde zieht den Mond an, aber der Mond zieht auch die Erde an.
Beide bewegen sich um ihren gemeinsamen Schwerpunkt.

3. Gravitation ist eine Zentralkraft

Eigenschaft

Eine Zentralkraft zeigt immer entlang der Verbindungslinie zwischen zwei Körpern: $\vec{F}_G \parallel \vec{r}$
Für Gravitation gilt: $\vec{F}_G = -G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} \vec{e}_r$

Folge

Da die Kraft radial wirkt, erzeugt sie kein Drehmoment um das Zentrum: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
Da $\vec{r}$ und $\vec{F}$ parallel sind:$\vec{\tau} = 0$
Daher bleibt der Drehimpuls erhalten: $L = mrv = \mathrm{konstant}$

Beispiel

Ein Planet bewegt sich schneller, wenn er der Sonne näher ist, und langsamer, wenn er weiter entfernt ist.
Das ist Keplers zweites Gesetz.

4. Gravitation ist langreichweitig

Eigenschaft

Die Gravitationskraft nimmt zwar mit $1/r^2$ ab, verschwindet aber theoretisch nie vollständig: $F_G \sim \dfrac{1}{r^2}$

Beispiel

Wenn sich der Abstand verdoppelt: $r \rightarrow 2r$
Dann wird die Kraft: $F' = G \dfrac{m_1 m_2}{(2r)^2}$ und damit $F' = \dfrac{1}{4}F$
Bei dreifachem Abstand: $F' = \dfrac{1}{9}F$

5. Gravitationsfeld

Eigenschaft

Eine Masse erzeugt um sich herum ein Gravitationsfeld.
Dieses Feld gibt an, welche Kraft auf eine Probemasse wirkt: $\vec{g} = \dfrac{\vec{F}_G}{m}$
Daraus folgt: $\vec{F}_G = m \vec{g}$
Für eine kugelförmige Masse wie die Erde gilt außerhalb der Kugel: $g = G \dfrac{M}{r^2}$

Herleitung

Aus Newtons Gravitationsgesetz: $F_G = G \dfrac{Mm}{r^2}$
und aus der Definition des Feldes $~g = \dfrac{F_G}{m}~$ folgt: $~g = \dfrac{1}{m} G \dfrac{Mm}{r^2}$
und damit: $~g = G \dfrac{M}{r^2}$

Beispiel: Fallbeschleunigung auf der Erde

$g = G \dfrac{M_E}{R_E^2}$
$g = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{(6{.}371 \cdot 10^6)^2}$
$g \approx 9{.}81 \mathrm{m/s^2}$
Das bedeutet: Ein frei fallender Körper wird pro Sekunde um etwa $9{.}81 \mathrm{m/s}$ schneller.

6. Gewichtskraft

Eigenschaft

Die Gewichtskraft ist die Gravitationskraft auf einen Körper nahe der Erdoberfläche: $F_G = mg$

Herleitung

Aus $F_G = G \dfrac{M_E m}{R_E^2}$ und $g = G \dfrac{M_E}{R_E^2}$ folgt: $F_G = mg$

Beispiel

Ein Körper mit $m = 10 \mathrm{kg}$ hat auf der Erde: $F_G = 10 \cdot 9{.}81$
$F_G = 98{.}1 \mathrm{N}$
Auf dem Mond gilt ungefähr: $g_M = 1{.}62 \mathrm{m/s^2}$
Dann ist: $F_G = 10 \cdot 1{.}62$
$F_G = 16{.}2 \mathrm{N}$
Die Masse bleibt $10 \mathrm{kg}$, aber das Gewicht ist kleiner.

7. Äquivalenzprinzip

Eigenschaft

Träge Masse und schwere Masse sind gleich.
Die träge Masse beschreibt den Widerstand gegen Beschleunigung: $F = m_\mathrm{träge} a$
Die schwere Masse beschreibt die Stärke der Gravitationswirkung: $F_G = m_\mathrm{schwer} g$
Da experimentell gilt: $m_\mathrm{träge} = m_\mathrm{schwer}$ fallen alle Körper im Vakuum gleich schnell.

Herleitung des freien Falls

Aus $F = ma$ und $F_G = mg$ folgt: $ma = mg$
Die Masse kürzt sich heraus: $a = g$

Beispiel

Eine Feder und ein Hammer fallen im Vakuum gleich schnell.
Auf der Erde fällt die Feder nur wegen Luftwiderstand langsamer.

8. Superpositionsprinzip

Eigenschaft

Die Gravitationskräfte mehrerer Massen addieren sich vektoriell: $\vec{F}_\mathrm{gesamt} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots$
Auch die Felder addieren sich: $\vec{g}_\mathrm{gesamt} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 + \vec{g}_3 + \dots$

Beispiel: Zwei gleiche Massen ziehen an einem Punkt

Zwei gleiche Massen liegen links und rechts gleich weit entfernt von einer kleinen Probemasse.
Die linke Masse zieht nach links, die rechte nach rechts.
Wenn beide Kräfte gleich groß sind: $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$
Die resultierende Kraft ist null.
Das bedeutet aber nicht, dass keine Gravitation vorhanden ist.
Die Felder heben sich nur an diesem Punkt gegenseitig auf.

9. Gravitation ist konservativ

Eigenschaft

Die Arbeit im Gravitationsfeld hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab, nicht vom Weg.
Deshalb kann man ein Potential definieren: $W = -\Delta E_\mathrm{pot}$

Gravitationspotentialenergie

Für zwei Massen gilt: $E_\mathrm{pot} = -G \dfrac{m_1 m_2}{r}$
Das Minuszeichen bedeutet: Die Energie ist null im unendlichen Abstand und negativ bei gebundenen Systemen.

Herleitung

Die Kraft ist: $F(r) = G \dfrac{Mm}{r^2}$
Die potentielle Energie ergibt sich aus: $E_\mathrm{pot}(r) = - \int_\infty^r F(r') \mathrm{d}r'$
$E_\mathrm{pot}(r) = - \int_\infty^r G \dfrac{Mm}{r'^2} \mathrm{d}r'$
$E_\mathrm{pot}(r) = -G Mm \left[-\dfrac{1}{r'}\right]_\infty^r$
$E_\mathrm{pot}(r) = -G \dfrac{Mm}{r}$

Beispiel: Potentielle Energie Erde-Mensch

$m = 70 \mathrm{kg}$
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24} \mathrm{kg}$
$r = 6{.}371 \cdot 10^6 \mathrm{m}$
$E_\mathrm{pot} = -G \dfrac{M_E m}{r}$
$E_\mathrm{pot} \approx -4{.}38 \cdot 10^9 \mathrm{J}$
Diese Energie ist negativ, weil der Mensch gravitativ an die Erde gebunden ist.

10. Näherung nahe der Erdoberfläche

Eigenschaft

Für kleine Höhen $h$ nahe der Erdoberfläche kann man die potentielle Energie einfacher schreiben: $E_\mathrm{pot} = mgh$

Herleitung

Allgemein gilt: $\Delta E_\mathrm{pot} = G M_E m \left(\dfrac{1}{R_E} - \dfrac{1}{R_E+h}\right)$
Für $h \ll R_E$ gilt näherungsweise: $\dfrac{1}{R_E+h} \approx \dfrac{1}{R_E} - \dfrac{h}{R_E^2}$
Also: $\Delta E_\mathrm{pot} \approx G M_E m \dfrac{h}{R_E^2}$
Da $g = G \dfrac{M_E}{R_E^2}$ folgt: $\Delta E_\mathrm{pot} \approx mgh$

Beispiel

Ein Stein mit $m = 2 \mathrm{kg}$ wird um $h = 5 \mathrm{m}$ angehoben: $E_\mathrm{pot} = mgh$
$E_\mathrm{pot} = 2 \cdot 9{.}81 \cdot 5$
$E_\mathrm{pot} = 98{.}1 \mathrm{J}$

11. Kreisbahn und Bahngeschwindigkeit

Eigenschaft

Eine Kreisbahn entsteht, wenn die Gravitationskraft genau die Zentripetalkraft liefert: $F_G = F_Z$ Also: $G \dfrac{Mm}{r^2} = m \dfrac{v^2}{r}$ Die Masse $m$ des umlaufenden Körpers kürzt sich heraus: $G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{v^2}{r}$ $v^2 = G \dfrac{M}{r}$ $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$

Beispiel: Satellit nahe der Erde

$r \approx R_E = 6{.}371 \cdot 10^6 \mathrm{m}$ $v = \sqrt{\dfrac{G M_E}{R_E}}$ $v = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{6{.}371 \cdot 10^6}}$ $v \approx 7900 \mathrm{m/s}$ Ein Satellit nahe der Erde braucht also etwa $7{.}9 \mathrm{km/s}$ Bahngeschwindigkeit.

12. Fluchtgeschwindigkeit

Eigenschaft

Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein Körper braucht, um das Gravitationsfeld dauerhaft zu verlassen.
Man setzt kinetische Energie und Bindungsenergie gleich: $\dfrac{1}{2}mv^2 = G \dfrac{Mm}{r}$
Die Masse $m$ kürzt sich heraus: $\dfrac{1}{2}v^2 = G \dfrac{M}{r}$
$v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$

Beispiel: Fluchtgeschwindigkeit von der Erde

$v = \sqrt{\dfrac{2GM_E}{R_E}}$
$v \approx 11200 \mathrm{m/s}$
$v \approx 11{.}2 \mathrm{km/s}$
Das ist die Geschwindigkeit, die ein Körper ohne weiteren Antrieb mindestens benötigt, um die Erde zu verlassen.

13. Keplersche Gesetze als Folge der Gravitation

Erstes Keplersches Gesetz

Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen. Die Sonne steht in einem Brennpunkt.

Zweites Keplersches Gesetz

Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Grund: Drehimpulserhaltung: $L = m r^2 \omega = \mathrm{konstant}$

Drittes Keplersches Gesetz

Für Kreisbahnen folgt: $T^2 = \dfrac{4 \pi^2}{GM} r^3$

Herleitung

Für eine Kreisbahn gilt: $G \dfrac{Mm}{r^2} = m \dfrac{v^2}{r}$
Mit $v = \dfrac{2 \pi r}{T}$ folgt: $G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{4 \pi^2 r^2}{T^2 r}$
$G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{4 \pi^2 r}{T^2}$
$T^2 = \dfrac{4 \pi^2}{GM} r^3$

Beispiel: Erde um die Sonne

$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30} \mathrm{kg}$
$r = 1{.}496 \cdot 10^{11} \mathrm{m}$
$T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{r^3}{GM_S}}$
$T \approx 3{.}156 \cdot 10^7 \mathrm{s}$
Das entspricht ungefähr einem Jahr.

14. Arbeit im Gravitationsfeld

Eigenschaft

Die Arbeit beim Anheben eines Körpers ist: $W = mgh$ nahe der Erdoberfläche.
Allgemein gilt: $W = G M m \left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$

Beispiel

Ein Satellit der Masse $m = 1000 \mathrm{kg}$ soll von der Erdoberfläche auf eine Höhe von $h = 400 \mathrm{km}$ gebracht werden.
$r_1 = 6{.}371 \cdot 10^6 \mathrm{m}$
$r_2 = 6{.}771 \cdot 10^6 \mathrm{m}$
$W = G M_E m \left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
$W \approx 3{.}69 \cdot 10^9 \mathrm{J}$
Das ist nur die Energie zum Anheben, noch nicht die Energie für die Bahngeschwindigkeit!

15. Gravitation und Gezeiten

Eigenschaft

Gezeiten entstehen, weil die Gravitationskraft mit dem Abstand abnimmt.
Die mondnahe Seite der Erde wird stärker angezogen als das Erdzentrum, die mondferne Seite schwächer.
Die Differenzkraft ist näherungsweise proportional zu: $F_\mathrm{Gezeit} \sim \dfrac{1}{r^3}$

Beispiel

Der Mond verursacht auf der Erde zwei Flutberge: einen auf der mondnahen Seite und einen auf der mondfernen Seite.
Die Erde rotiert darunter hindurch, dadurch entstehen Ebbe und Flut.

16. Gravitation ist sehr schwach

Eigenschaft

Gravitation ist viel schwächer als elektromagnetische Kräfte.
Trotzdem dominiert sie im Universum auf großen Skalen, weil sie immer anziehend ist und nicht durch positive und negative Ladungen abgeschirmt wird.

Beispiel: Vergleich Erde-Mensch

Die Gewichtskraft eines Menschen beträgt etwa: $F_G \approx 687 \mathrm{N}$
Obwohl die gesamte Erde nötig ist, um diese Kraft zu erzeugen,
kann ein kleiner Magnet eine Büroklammer gegen die Erdanziehung hochheben.
Das zeigt, wie schwach Gravitation im Vergleich zur elektromagnetischen Kraft ist!

17. Gravitation und Licht

Eigenschaft

Nach Newton wirkt Gravitation auf Massen.
Nach Einstein beeinflusst Gravitation auch Licht, obwohl Licht keine Ruhemasse besitzt.
In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist Gravitation keine gewöhnliche Kraft, sondern Krümmung der Raumzeit.
Eine wichtige Formel ist der Schwarzschildradius: $r_S = \dfrac{2GM}{c^2}$
Wenn ein Körper innerhalb dieses Radius komprimiert wird, entsteht ein Schwarzes Loch.

Beispiel: Schwarzschildradius der Sonne

$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30} \mathrm{kg}$
$c = 3{.}00 \cdot 10^8 \mathrm{m/s}$
$r_S = \dfrac{2GM_S}{c^2}$
$r_S = \dfrac{2 \cdot 6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}{(3{.}00 \cdot 10^8)^2}$
$r_S \approx 2950 \mathrm{m}$
Die Sonne müsste also auf einen Radius von etwa $3 \mathrm{km}$ zusammengedrückt werden, um ein Schwarzes Loch zu werden.

18. Gravitationskraft Erde-Mond

Beispielrechnung

$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24} \mathrm{kg}$
$M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22} \mathrm{kg}$
$r = 3{.}844 \cdot 10^8 \mathrm{m}$
$F_G = G \dfrac{M_E M_M}{r^2}$
$F_G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22}}{(3{.}844 \cdot 10^8)^2}$
$F_G \approx 1{.}98 \cdot 10^{20} \mathrm{N}$
Das ist die Kraft, mit der Erde und Mond einander anziehen.

19. Gravitationskraft Sonne-Erde

Beispielrechnung

$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30} \mathrm{kg}$
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24} \mathrm{kg}$
$r = 1{.}496 \cdot 10^{11} \mathrm{m}$
$F_G = G \dfrac{M_S M_E}{r^2}$
$F_G \approx 3{.}54 \cdot 10^{22} \mathrm{N}$
Diese Kraft hält die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne.

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Gravitation ist:
- eine Wechselwirkung zwischen Massen
- immer anziehend
- proportional zu den beteiligten Massen
- umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes
- eine Zentralkraft
- langreichweitig
- konservativ
- durch ein Potential beschreibbar
- durch ein Feld beschreibbar
- additiv durch das Superpositionsprinzip
- verantwortlich für Gewichtskraft und freien Fall
- Ursache von Planetenbahnen und Keplers Gesetzen
- Ursache von Gezeiten
- sehr schwach im Vergleich zu anderen Grundkräften
- in Einsteins Theorie Ausdruck der Raumzeitkrümmung