Newtonsches Gravitationsgesetz

Das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt die Anziehungskraft zwischen zwei Massen: $F_G = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
Dabei ist:
$F_G$ : die Gravitationskraft in $\mathrm{N}$
$G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$ : Gravitationskonstante
$m_1$ , $m_2$ : die beiden Massen in $\mathrm{kg}$
$r$ : der Abstand der Mittelpunkte der beiden Körper in $\mathrm{m}$

1. Physikalische Bedeutung

Das Gesetz sagt: Je größer die Massen sind, desto größer ist die Gravitationskraft.
$F_G \sim m_1$
$F_G \sim m_2$
Je größer der Abstand ist, desto kleiner wird die Kraft.
$F_G \sim \dfrac{1}{r^2}$
Wenn man den Abstand verdoppelt, wird die Kraft viermal kleiner.
$F_G' = G \dfrac{m_1 m_2}{(2r)^2}$
$F_G' = \dfrac{1}{4}F_G$
Wenn man den Abstand verdreifacht, wird die Kraft neunmal kleiner.
$F_G' = \dfrac{1}{9}F_G$

2. Vektorielle Form

Die Gravitationskraft ist nicht nur eine Zahl, sondern hat auch eine Richtung.
Sie wirkt entlang der Verbindungslinie der beiden Massen und ist immer anziehend.
$\vec{F}_{12} = -G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} \vec{e}_r$
Das Minuszeichen zeigt: Die Kraft zeigt zur anderen Masse hin.
Für zwei Körper gilt nach Newtons drittem Gesetz: $\vec{F}*{12} = -\vec{F}*{21}$
Das bedeutet: Körper 1 zieht Körper 2 genauso stark an, wie Körper 2 Körper 1 anzieht.
Die Kräfte sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet.

3. Herleitung aus Kreisbewegung und Keplers Gesetz

Für einen Planeten auf einer Kreisbahn um die Sonne liefert die Gravitation die Zentripetalkraft.
Die Zentripetalkraft lautet: $F_Z = m \dfrac{v^2}{r}$
Für die Bahngeschwindigkeit gilt: $v = \dfrac{2 \pi r}{T}$
Einsetzen ergibt: $F_Z = m \dfrac{1}{r} \left(\dfrac{2 \pi r}{T}\right)^2$
$F_Z = m \dfrac{4 \pi^2 r^2}{T^2 r}$
$F_Z = m \dfrac{4 \pi^2 r}{T^2}$
Nach Keplers drittem Gesetz gilt: $T^2 \sim r^3$
Also: $F_Z \sim m \dfrac{r}{r^3}$
$F_Z \sim \dfrac{m}{r^2}$
Damit folgt: Die Kraft muss mit dem Quadrat des Abstandes abnehmen.
Für eine zentrale Masse $M$ und einen umlaufenden Körper $m$ ergibt sich: $F_G = G \dfrac{Mm}{r^2}$

4. Zusammenhang mit der Fallbeschleunigung

Auf der Erde gilt: $F_G = G \dfrac{M_E m}{R_E^2}$
Die Gewichtskraft ist aber auch: $F_G = mg$
Gleichsetzen: $mg = G \dfrac{M_E m}{R_E^2}$
Die Masse $m$ kürzt sich heraus: $g = G \dfrac{M_E}{R_E^2}$
Das erklärt, warum alle Körper im Vakuum gleich schnell fallen.

5. Beispiel: Fallbeschleunigung auf der Erde

Gegeben:
$G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24} \mathrm{kg}$
$R_E = 6{.}371 \cdot 10^6 \mathrm{m}$
Gesucht: $g$
Rechnung:
$g = G \dfrac{M_E}{R_E^2}$
$g = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{(6{.}371 \cdot 10^6)^2}$
$g \approx 9{.}82 \mathrm{m/s^2}$
Ergebnis: $g \approx 9{.}81 \mathrm{m/s^2}$
Ein frei fallender Körper wird also jede Sekunde um etwa $9{.}81 \mathrm{m/s}$ schneller.

6. Beispiel: Gewichtskraft eines Menschen

Gegeben:
$m = 70 \mathrm{kg}$
$g = 9{.}81 \mathrm{m/s^2}$
Gesucht: $F_G$
Rechnung:
$F_G = mg$
$F_G = 70 \cdot 9{.}81$
$F_G = 686{.}7 \mathrm{N}$
Ergebnis: Ein Mensch mit $70 \mathrm{kg}$ erfährt auf der Erde eine Gewichtskraft von ungefähr: $F_G \approx 700 \mathrm{N}$

7. Beispiel: Gravitationskraft zwischen Erde und Mond

Gegeben:
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24} \mathrm{kg}$
$M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22} \mathrm{kg}$
$r = 3{.}844 \cdot 10^8 \mathrm{m}$
$G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$
Gesucht: $F_G$
Rechnung:
$F_G = G \dfrac{M_E M_M}{r^2}$
$F_G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22}}{(3{.}844 \cdot 10^8)^2}$
Zuerst der Zähler: $5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22} \approx 4{.}388 \cdot 10^{47}$
Mit $G$: $6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 4{.}388 \cdot 10^{47} \approx 2{.}928 \cdot 10^{37}$
Nenner: $(3{.}844 \cdot 10^8)^2 \approx 1{.}477 \cdot 10^{17}$
Damit: $F_G \approx \dfrac{2{.}928 \cdot 10^{37}}{1{.}477 \cdot 10^{17}}$
$F_G \approx 1{.}98 \cdot 10^{20} \mathrm{N}$
Ergebnis: $F_G \approx 1{.}98 \cdot 10^{20} \mathrm{N}$
Erde und Mond ziehen sich also mit etwa $198$ Trillionen Newton gegenseitig an.

8. Beispiel: Gravitationskraft zwischen Sonne und Erde

Gegeben:
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30} \mathrm{kg}$
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24} \mathrm{kg}$
$r = 1{.}496 \cdot 10^{11} \mathrm{m}$
Gesucht: $F_G$
Rechnung: $F_G = G \dfrac{M_S M_E}{r^2}$
$F_G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{(1{.}496 \cdot 10^{11})^2}$
Produkt der Massen: $1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24} \approx 1{.}188 \cdot 10^{55}$
Mit $G$: $6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}188 \cdot 10^{55} \approx 7{.}928 \cdot 10^{44}$
Abstand zum Quadrat: $(1{.}496 \cdot 10^{11})^2 \approx 2{.}238 \cdot 10^{22}$
Also: $F_G \approx \dfrac{7{.}928 \cdot 10^{44}}{2{.}238 \cdot 10^{22}}$
$F_G \approx 3{.}54 \cdot 10^{22} \mathrm{N}$
Ergebnis: $F_G \approx 3{.}54 \cdot 10^{22} \mathrm{N}$
Diese Kraft hält die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne.

9. Beispiel: Warum fällt ein schwerer Körper nicht schneller?

Für einen fallenden Körper gilt: $F_G = G \dfrac{M_E m}{R_E^2}$
Nach Newtons zweitem Gesetz: $F = ma$
Also: $ma = G \dfrac{M_E m}{R_E^2}$
Die Masse $m$ kürzt sich heraus: $a = G \dfrac{M_E}{R_E^2}$
$a = g$
Das bedeutet:
Ein Körper mit $1 \mathrm{kg}$ und ein Körper mit $100 \mathrm{kg}$ haben im Vakuum dieselbe Fallbeschleunigung.
Der schwere Körper erfährt zwar eine größere Gravitationskraft, aber er hat auch eine entsprechend größere Trägheit.

10. Beispiel: Bahngeschwindigkeit eines Satelliten

Für eine Kreisbahn gilt: $F_G = F_Z$
Also: $G \dfrac{M_E m}{r^2} = m \dfrac{v^2}{r}$
Die Satellitenmasse $m$ kürzt sich heraus: $G \dfrac{M_E}{r^2} = \dfrac{v^2}{r}$
Multiplizieren mit $r$: $v^2 = G \dfrac{M_E}{r}$
Also: $v = \sqrt{\dfrac{G M_E}{r}}$
Für einen Satelliten in $400 \mathrm{km}$ Höhe gilt: $r = R_E + h$
$r = 6{.}371 \cdot 10^6 + 4{.}00 \cdot 10^5$
$r = 6{.}771 \cdot 10^6 \mathrm{m}$
Rechnung: $v = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{6{.}771 \cdot 10^6}}$
$v \approx 7670 \mathrm{m/s}$
Ergebnis: $v \approx 7{.}67 \mathrm{km/s}$
Ein Satellit in $400 \mathrm{km}$ Höhe muss sich also mit etwa $7{.}7 \mathrm{km/s}$ bewegen.

11. Beispiel: Umlaufzeit eines Satelliten

Die Umlaufzeit ist: $T = \dfrac{2 \pi r}{v}$
Mit: $r = 6{.}771 \cdot 10^6 \mathrm{m}$
$v = 7670 \mathrm{m/s}$
folgt: $T = \dfrac{2 \pi \cdot 6{.}771 \cdot 10^6}{7670}$
$T \approx 5547 \mathrm{s}$
In Minuten: $T = \dfrac{5547}{60}$
$T \approx 92{.}5 \mathrm{min}$
Ein Satellit in etwa $400 \mathrm{km}$ Höhe umkreist die Erde also ungefähr alle $90$ Minuten.

12. Zusammenhang mit der potentiellen Energie

Da die Gravitationskraft konservativ ist, kann man eine potentielle Energie angeben:
$E_\mathrm{pot} = -G \dfrac{Mm}{r}$
Das Minuszeichen bedeutet: Im unendlichen Abstand ist die Energie gleich null.
In der Nähe einer Masse ist sie negativ, weil der Körper gebunden ist.

Herleitung:
Die Kraft lautet: $F(r) = G \dfrac{Mm}{r^2}$
Die potentielle Energie erhält man aus: $E_\mathrm{pot}(r) = - \int_{\infty}^{r} F(r') , \mathrm{d}r'$
Einsetzen: $E_\mathrm{pot}(r) = - \int_{\infty}^{r} G \dfrac{Mm}{r'^2} , \mathrm{d}r'$
$E_\mathrm{pot}(r) = -GMm \int_{\infty}^{r} r'^{-2} , \mathrm{d}r'$
$E_\mathrm{pot}(r) = -GMm \left[-\dfrac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r}$
$E_\mathrm{pot}(r) = -G \dfrac{Mm}{r}$

13. Näherung nahe der Erdoberfläche

Nahe der Erdoberfläche benutzt man oft: $E_\mathrm{pot} = mgh$
Diese Formel ist eine Näherung der allgemeinen Gravitationsenergie.
Allgemein gilt für eine Höhenänderung von $R_E$ nach $R_E + h$:
$\Delta E_\mathrm{pot} = GM_E m \left(\dfrac{1}{R_E} - \dfrac{1}{R_E + h}\right)$
Für kleine Höhen gilt: $h \ll R_E$
Dann wird daraus: $\Delta E_\mathrm{pot} \approx mgh$

Beispiel:

Ein Körper mit $m = 5 \mathrm{kg}$ wird um $h = 2 \mathrm{m}$ angehoben.
$E_\mathrm{pot} = mgh$
$E_\mathrm{pot} = 5 \cdot 9{.}81 \cdot 2$
$E_\mathrm{pot} = 98{.}1 \mathrm{J}$

14. Gravitationsgesetz und Keplers drittes Gesetz

Aus dem Gravitationsgesetz kann man Keplers drittes Gesetz herleiten.
Für eine Kreisbahn gilt: $G \dfrac{Mm}{r^2} = m \dfrac{v^2}{r}$
Mit: $v = \dfrac{2 \pi r}{T}$
Einsetzen: $G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{1}{r} \left(\dfrac{2 \pi r}{T}\right)^2$
$G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{4 \pi^2 r}{T^2}$
Umstellen nach $T^2$: $T^2 = \dfrac{4 \pi^2}{GM} r^3$
Damit gilt: $T^2 \sim r^3$
Das ist Keplers drittes Gesetz.

15. Beispiel: Umlaufzeit der Erde um die Sonne

Gegeben:
$r = 1{.}496 \cdot 10^{11} \mathrm{m}$
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30} \mathrm{kg}$
Gesucht: $T$
Formel: $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M_S}}$
Rechnung: $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{(1{.}496 \cdot 10^{11})^3}{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}}$
$T \approx 3{.}16 \cdot 10^7 \mathrm{s}$
Umrechnung in Tage: $T = \dfrac{3{.}16 \cdot 10^7}{86400}$
$T \approx 365 \mathrm{d}$
Das entspricht ungefähr einem Jahr.

16. Wichtige Eigenschaften des Gesetzes

Das newtonsche Gravitationsgesetz ist:
- proportional zu beiden Massen: $F_G \sim m_1 m_2$
- umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes: $F_G \sim \dfrac{1}{r^2}$
- immer anziehend: $\vec{F}*{12} = -\vec{F}*{21}$
- eine Zentralkraft: $\vec{F}_G$ zeigt entlang der Verbindungslinie der Massen
- langreichweitig: Die Kraft nimmt ab, verschwindet aber theoretisch nie vollständig
- konservativ: es gibt eine potentielle Energie: $E_\mathrm{pot} = -G \dfrac{Mm}{r}$
- additiv: mehrere Gravitationskräfte addieren sich vektoriell: $\vec{F}_\mathrm{ges} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots$

17. Grenzen des newtonschen Gravitationsgesetzes

Das Gesetz funktioniert sehr gut für:
- Planetenbahnen
- Satelliten
- freien Fall
- Mondbewegung
- technische Berechnungen im Sonnensystem
Es ist aber nur eine Näherung.
Bei sehr starken Gravitationsfeldern oder sehr hohen Geschwindigkeiten braucht man Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie.
Beispiele dafür sind:
- Merkurperiheldrehung
- Schwarze Löcher
- Gravitationslinsen
- Gravitationswellen
- extrem genaue GPS-Zeitkorrekturen

Kurzfassung

Newtons Gravitationsgesetz lautet: $F_G = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
Es beschreibt, dass zwei Massen einander anziehen.
Die Kraft wächst mit beiden Massen und nimmt mit dem Quadrat des Abstandes ab.
Aus diesem Gesetz folgen Gewichtskraft, Fallbeschleunigung, Satellitenbahnen, Planetenbewegungen und Keplers Gesetze.