Keplersche Gesetze

Die Keplerschen Gesetze beschreiben die Bewegung von Planeten, Monden, Satelliten, Kometen und Sternen unter Gravitation. Sie gelten besonders gut, wenn ein kleiner Körper eine viel größere Zentralmasse umläuft, zum Beispiel Erde um Sonne oder Mond um Erde.

1. Erstes Keplersches Gesetz: Ellipsenbahnen

Aussage

Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen. Die Sonne steht in einem Brennpunkt der Ellipse.
Für eine Ellipse gilt:
$a$ = große Halbachse
$b$ = kleine Halbachse
$e$ = Exzentrizität
$c$ = Abstand des Brennpunktes vom Mittelpunkt
$e = \dfrac{c}{a}$
$b^2 = a^2(1 - e^2)$
Für eine Ellipse gilt:
$0 \le e < 1$
Bei $e = 0$ ist die Bahn ein Kreis.
Bei $0 < e < 1$ ist die Bahn eine Ellipse.

Polargleichung der Bahn

Für eine Gravitationsbahn gilt allgemein: $r(\varphi) = \dfrac{p}{1 + e \cos(\varphi)}$
Dabei ist: $p$ der Bahnparameter
$e$ die Exzentrizität
$\varphi$ der Winkel zum sonnennächsten Punkt
Für eine Ellipse gilt: $p = a(1 - e^2)$
Also: $r(\varphi) = \dfrac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos(\varphi)}$

Sonnennächster und sonnenfernster Punkt

Der sonnennächste Punkt heißt Perihel: $r_\mathrm{min} = a(1 - e)$
Der sonnenfernste Punkt heißt Aphel: $r_\mathrm{max} = a(1 + e)$

Beispiel: Erdbahn

Für die Erde gilt näherungsweise: $a = 1{.}496 \cdot 10^{11} \mathrm{m}$
$e = 0{.}0167$
Perihel: $r_\mathrm{min} = a(1 - e)$
$r_\mathrm{min} = 1{.}496 \cdot 10^{11} \cdot (1 - 0{.}0167)$
$r_\mathrm{min} \approx 1{.}471 \cdot 10^{11} \mathrm{m}$
Aphel: $r_\mathrm{max} = a(1 + e)$
$r_\mathrm{max} = 1{.}496 \cdot 10^{11} \cdot (1 + 0{.}0167)$
$r_\mathrm{max} \approx 1{.}521 \cdot 10^{11} \mathrm{m}$
Die Erdbahn ist also fast kreisförmig, aber nicht exakt.

2. Zweites Keplersches Gesetz: Flächensatz

Aussage

Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.
Das bedeutet: Ein Planet bewegt sich in Sonnennähe schneller und in Sonnenferne langsamer.
Mathematisch: $\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \mathrm{konstant}$

Herleitung aus Drehimpulserhaltung

Die Gravitation ist eine Zentralkraft: $\vec{F}_G = -G \dfrac{Mm}{r^2}\vec{e}_r$
Die Kraft zeigt immer entlang der Verbindungslinie zum Zentrum.
Das Drehmoment ist: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
Da $\vec{r}$ und $\vec{F}$ parallel sind: $\vec{\tau} = 0$
Also bleibt der Drehimpuls erhalten: $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$
$L = \mathrm{konstant}$
Für die Flächengeschwindigkeit gilt: $\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{2}r^2 \dot{\varphi}$
Der Drehimpuls ist: $L = mr^2\dot{\varphi}$
Also: $\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \dfrac{L}{2m}$
Da $L$ konstant ist, ist auch $\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}$ konstant.

Beispiel: Geschwindigkeit im Perihel und Aphel

Da der Drehimpuls erhalten bleibt: $m r_\mathrm{min} v_\mathrm{max} = m r_\mathrm{max} v_\mathrm{min}$
Die Masse kürzt sich heraus: $r_\mathrm{min} v_\mathrm{max} = r_\mathrm{max} v_\mathrm{min}$
Also: $\dfrac{v_\mathrm{max}}{v_\mathrm{min}} = \dfrac{r_\mathrm{max}}{r_\mathrm{min}}$
Für die Erde: $r_\mathrm{min} = 1{.}471 \cdot 10^{11} \mathrm{m}$
$r_\mathrm{max} = 1{.}521 \cdot 10^{11} \mathrm{m}$
$\dfrac{v_\mathrm{max}}{v_\mathrm{min}} = \dfrac{1{.}521}{1{.}471}$
$\dfrac{v_\mathrm{max}}{v_\mathrm{min}} \approx 1{.}034$
Die Erde ist im Perihel also etwa $3{.}4%$ schneller als im Aphel.

3. Drittes Keplersches Gesetz: Umlaufzeit und Bahngröße

Aussage

Für Planeten um dieselbe Zentralmasse gilt: $T^2 \sim a^3$
Genauer: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}a^3$
Dabei ist:
$T$ die Umlaufzeit
$a$ die große Halbachse
$M$ die Zentralmasse
$G$ die Gravitationskonstante

Herleitung für Kreisbahnen

Für eine Kreisbahn liefert die Gravitation die Zentripetalkraft: $F_G = F_Z$
$G \dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$
Die Planetenmasse $m$ kürzt sich heraus: $G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{v^2}{r}$
Mit: $v = \dfrac{2\pi r}{T}$
folgt: $G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^2$
$G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$
Umstellen: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3$
Für Ellipsenbahnen ersetzt man $r$ durch die große Halbachse $a$: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}a^3$

Beispiel: Umlaufzeit der Erde

Gegeben:
$G = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$a = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Gesucht: $T$
Formel: $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{a^3}{GM_S}}$
Einsetzen: $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{(1{.}496 \cdot 10^{11})^3}{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}}$
$T \approx 3{.}156 \cdot 10^7\mathrm{s}$
Umrechnung in Tage: $T = \dfrac{3{.}156 \cdot 10^7}{86400}d$
$T \approx 365{.}25\mathrm{d}$
Das ist ein Jahr.

4. Umlaufzeit des Mars aus Keplers Gesetz

Für Planeten um die Sonne kann man schreiben: $\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^3$
Für Erde und Mars: $a_E = 1\mathrm{AE}$
$T_E = 1\mathrm{a}$
$a_M = 1{.}524\mathrm{AE}$
Gesucht: $T_M$
$\left(\dfrac{T_M}{T_E}\right)^2 = \left(\dfrac{a_M}{a_E}\right)^3$
$T_M^2 = 1{.}524^3$
$T_M = \sqrt{1{.}524^3}$
$T_M \approx 1{.}88\mathrm{a}$
Ein Marsjahr dauert also etwa $1{.}88$ Erdenjahre.
In Tagen: $T_M = 1{.}88 \cdot 365{.}25$
$T_M \approx 687\mathrm{d}$

5. Planetenbahnen als Kegelschnitte

Alle Bahnen im Newtonschen Gravitationsfeld sind Kegelschnitte:
- Kreis
- Ellipse
- Parabel
- Hyperbel
Die Form hängt von der Gesamtenergie ab.
Die mechanische Gesamtenergie ist: $E = E_\mathrm{kin} + E_\mathrm{pot}$
$E = \dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{Mm}{r}$

Ellipse

Für gebundene Bahnen gilt: $E < 0$
Dann bleibt der Körper dauerhaft an die Zentralmasse gebunden.
Die Bahn ist eine Ellipse.
Für Ellipsen gilt: $0 \le e < 1$
Die Gesamtenergie einer Ellipsenbahn ist: $E = -G\dfrac{Mm}{2a}$
Je größer $a$ ist, desto weniger stark ist der Körper gebunden.

Kreis

Der Kreis ist ein Spezialfall der Ellipse.
Für den Kreis gilt: $e = 0$ , $r = a$
Die Kreisbahngeschwindigkeit ist: $v_\mathrm{Kreis} = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$

Parabel

Für eine Parabel gilt: $E = 0$
Der Körper ist gerade nicht mehr gebunden.
Er kommt aus unendlicher Entfernung mit Geschwindigkeit null oder entkommt ins Unendliche mit Restgeschwindigkeit null.
Für Parabelbahnen gilt: $e = 1$
Die notwendige Geschwindigkeit ist die Fluchtgeschwindigkeit: $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$

Hyperbel

Für eine Hyperbel gilt: $E > 0$
Der Körper ist nicht gebunden. Er fliegt an der Zentralmasse vorbei und verlässt das System wieder.
Für Hyperbeln gilt: $e > 1$
Beispiele:
- Kometen aus dem interstellaren Raum
- Raumsonden mit Swing-by-Manövern
- Sterne, die an Schwarzen Löchern vorbeigeschleudert werden

6. Beispiel: Kreisbahn, Parabelbahn und Hyperbelbahn an der Erde

Nehmen wir einen Körper in der Nähe der Erdoberfläche: $r = R_E = 6{.}371 \cdot 10^6\mathrm{m}$
$GM_E = 3{.}986 \cdot 10^{14}\mathrm{m^3/s^2}$

Kreisbahngeschwindigkeit

$v_\mathrm{Kreis} = \sqrt{\dfrac{GM_E}{r}}$
$v_\mathrm{Kreis} = \sqrt{\dfrac{3{.}986 \cdot 10^{14}}{6{.}371 \cdot 10^6}}$
$v_\mathrm{Kreis} \approx 7900\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{Kreis} \approx 7{.}9\mathrm{km/s}$

Fluchtgeschwindigkeit

$v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM_E}{r}}$
$v_\mathrm{esc} = \sqrt{2}v_\mathrm{Kreis}$
$v_\mathrm{esc} \approx 1{.}414 \cdot 7{.}9\mathrm{km/s}$
$v_\mathrm{esc} \approx 11{.}2\mathrm{km/s}$

Interpretation

- bei $v < 7{.}9\mathrm{km/s}$ fällt der Körper zurück, wenn er zu nahe an der Erde ist
- bei $v \approx 7{.}9\mathrm{km/s}$ entsteht nahe der Erde eine Kreisbahn
- bei $7{.}9\mathrm{km/s} < v < 11{.}2\mathrm{km/s}$ entsteht eine Ellipsenbahn
- bei $v = 11{.}2\mathrm{km/s}$ entsteht eine Parabelbahn
- bei $v > 11{.}2\mathrm{km/s}$ entsteht eine Hyperbelbahn

7. Geschwindigkeit auf einer Ellipsenbahn: Vis-Viva-Gleichung

Eine sehr wichtige Gleichung für Bahnen ist: $v^2 = GM\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)$
Sie heißt Vis-Viva-Gleichung.
Dabei ist:
$v$ die Bahngeschwindigkeit
$r$ der momentane Abstand
$a$ die große Halbachse
$M$ die Zentralmasse

Herleitung aus Energieerhaltung

Gesamtenergie der Ellipse: $E = -G\dfrac{Mm}{2a}$
Momentane mechanische Energie: $E = \dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{Mm}{r}$
Gleichsetzen: $\dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{Mm}{r} = -G\dfrac{Mm}{2a}$
Durch $m$ teilen: $\dfrac{1}{2}v^2 - G\dfrac{M}{r} = -G\dfrac{M}{2a}$
Umstellen: $\dfrac{1}{2}v^2 = G\dfrac{M}{r} - G\dfrac{M}{2a}$
$v^2 = 2GM\dfrac{1}{r} - GM\dfrac{1}{a}$
$v^2 = GM\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)$

Beispiel: Geschwindigkeit der Erde im Perihel und Aphel

Gegeben:
$GM_S = 1{.}327 \cdot 10^{20}\mathrm{m^3/s^2}$
$a = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$e = 0{.}0167$
Perihel: $r_\mathrm{P} = a(1 - e)$
$r_\mathrm{P} \approx 1{.}471 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Aphel: $r_\mathrm{A} = a(1 + e)$
$r_\mathrm{A} \approx 1{.}521 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Perihelgeschwindigkeit: $v_\mathrm{P} = \sqrt{GM_S\left(\dfrac{2}{r_\mathrm{P}} - \dfrac{1}{a}\right)}$
$v_\mathrm{P} \approx 30290\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{P} \approx 30{.}3\mathrm{km/s}$
Aphelgeschwindigkeit: $v_\mathrm{A} = \sqrt{GM_S\left(\dfrac{2}{r_\mathrm{A}} - \dfrac{1}{a}\right)}$
$v_\mathrm{A} \approx 29290\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{A} \approx 29{.}3\mathrm{km/s}$
Die Erde bewegt sich im Januar im Perihel schneller als im Juli im Aphel.

8. Zusammenhang zwischen Exzentrizität und Bahnform

Die Bahnform wird durch $e$ bestimmt:

| Exzentrizität | Bahnform | Energie |
| ------------: | -------- | ------: |
| $e = 0$ | Kreis | $E < 0$ |
| $0 < e < 1$ | Ellipse | $E < 0$ |
| $e = 1$ | Parabel | $E = 0$ |
| $e > 1$ | Hyperbel | $E > 0$ |

Die allgemeine Bahngleichung lautet: $r(\varphi) = \dfrac{p}{1 + e\cos(\varphi)}$
Diese Gleichung beschreibt alle vier Fälle.

9. Anwendung im Sonnensystem

Planeten

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen mit kleiner Exzentrizität.
Die Erde hat $e \approx 0{.}0167$, also fast eine Kreisbahn.
Merkur hat eine größere Exzentrizität und dadurch eine deutlich ungleichmäßigere Bahngeschwindigkeit.

Kometen

Viele Kometen haben stark elliptische Bahnen.
Das bedeutet:
- Sie sind weit draußen sehr langsam.
- Sie werden beim Sturz zur Sonne stark beschleunigt.
- Sie sind im sonnennächsten Punkt sehr schnell.
Beispiel: Ein Komet mit großer Halbachse $a = 18\mathrm{AE}$ hat nach Keplers drittem Gesetz: $T^2 = a^3$
wenn $T$ in Jahren und $a$ in Astronomischen Einheiten gemessen wird.
$T = \sqrt{18^3}$
$T = \sqrt{5832}$
$T \approx 76{.}4\mathrm{a}$
Das ist etwa die Größenordnung des Halleyschen Kometen.

Satelliten

Künstliche Satelliten folgen denselben Gesetzen.
Für niedrige Erdumlaufbahnen ist die Umlaufzeit ungefähr $90$ Minuten.
Für geostationäre Satelliten gilt: $T = 24\mathrm{h}$
Aus dem dritten Keplerschen Gesetz kann man den Bahnradius berechnen: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM_E}r^3$
Umstellen: $r^3 = \dfrac{GM_E T^2}{4\pi^2}$
$r = \sqrt[3]{\dfrac{GM_E T^2}{4\pi^2}}$
Mit: $GM_E = 3{.}986 \cdot 10^{14}\mathrm{m^3/s^2}$
$T = 86164\mathrm{s}$
$r \approx 4{.}216 \cdot 10^7\mathrm{m}$
Das ist der Abstand vom Erdmittelpunkt.
Die Höhe über der Erdoberfläche ist: $h = r - R_E$
$h = 4{.}216 \cdot 10^7 - 6{.}371 \cdot 10^6$
$h \approx 3{.}579 \cdot 10^7\mathrm{m}$
$h \approx 35790\mathrm{km}$

10. Anwendung auf Doppelsterne

Keplers Gesetze gelten auch für Doppelsternsysteme.
Wenn zwei Sterne einander umkreisen, bewegen sich beide um den gemeinsamen Schwerpunkt.
Für zwei vergleichbare Massen gilt die allgemeinere Form: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G(m_1 + m_2)}a^3$
Dabei ist $a$ der Abstand der großen Halbachsen der Relativbahn.

Beispiel

Zwei Sterne haben zusammen: $m_1 + m_2 = 2M_S$
und ihre mittlere Entfernung beträgt: $a = 1\mathrm{AE}$
Dann ist: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G(2M_S)}a^3$
Verglichen mit Erde-Sonne: $T^2$ ist halb so groß.
Also: $T = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{a}$
$T \approx 0{.}707\mathrm{a}$
$T \approx 258\mathrm{d}$
Ein engeres oder massereicheres Doppelsternsystem umläuft sich also schneller.

11. Anwendung auf Exoplaneten

Bei Exoplaneten misst man oft die Umlaufzeit $T$.
Daraus kann man mit Keplers drittem Gesetz den Abstand zum Stern bestimmen.
Umgestellt: $a = \sqrt[3]{\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}}$
Wenn die Sternmasse bekannt ist, erhält man aus der gemessenen Umlaufzeit die Bahngröße.

Beispiel

Ein Exoplanet um einen sonnenähnlichen Stern hat: $T = 10\mathrm{d}$
In Jahren: $T = \dfrac{10}{365{.}25}$
$T \approx 0{.}0274\mathrm{a}$
Für einen sonnenähnlichen Stern gilt in AE: $T^2 = a^3$
Also: $a = \sqrt[3]{T^2}$
$a = \sqrt[3]{0{.}0274^2}$
$a \approx 0{.}091\mathrm{AE}$
Der Planet ist also sehr nah an seinem Stern.

12. Anwendung auf Galaxien

Keplers Gesetze gelten exakt für eine dominierende Zentralmasse.
In Galaxien ist die Masse jedoch verteilt: Sterne, Gas, Staub und Dunkle Materie tragen zur Gravitation bei.
Für eine Kreisbahn gilt allgemein: $v = \sqrt{\dfrac{GM(r)}{r}}$
Dabei ist $M(r)$ die Masse innerhalb des Radius $r$.
Wenn fast die gesamte Masse im Zentrum konzentriert wäre, müsste gelten: $v \sim \dfrac{1}{\sqrt{r}}$
Das wäre eine Keplersche Rotation.
Beobachtet wird in vielen Galaxien aber ungefähr: $v \approx \mathrm{konstant}$
Dann folgt: $v^2 = \dfrac{GM(r)}{r}$
$M(r) = \dfrac{v^2r}{G}$
Wenn $v$ konstant bleibt, wächst $M(r)$ ungefähr proportional zu $r$.
Das ist ein Hinweis auf zusätzliche Masse in großen Radien: Dunkle Materie.

13. Anwendung auf Schwarze Löcher

Sterne können um ein sehr massereiches Schwarzes Loch kreisen. Aus ihrer Bahn kann man die Masse des Schwarzen Lochs bestimmen.
Keplers drittes Gesetz: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}a^3$
Umgestellt nach $M$: $M = \dfrac{4\pi^2a^3}{GT^2}$
Wenn man also $a$ und $T$ eines Sterns kennt, kann man die Zentralmasse bestimmen.
Das wurde zum Beispiel im Zentrum der Milchstraße angewendet: Sterne bewegen sich dort auf elliptischen Bahnen um eine sehr kompakte Masse.
Daraus folgt die Existenz eines supermassereichen Schwarzen Lochs.

14. Parabeln und Hyperbeln im Universum

Parabelbahnen

Parabelbahnen sind Grenzfälle.
Sie treten auf, wenn ein Körper genau Fluchtgeschwindigkeit besitzt: $v = v_\mathrm{esc}$
Dann gilt: $E = 0$
In der Natur sind exakt parabolische Bahnen selten, weil schon kleine Störungen daraus eine sehr langgestreckte Ellipse oder eine Hyperbel machen.

Hyperbelbahnen

Hyperbelbahnen treten auf, wenn ein Körper schneller als die Fluchtgeschwindigkeit ist: $v > v_\mathrm{esc}$
Dann gilt: $E > 0$
Beispiele:
- Interstellare Objekte, die durchs Sonnensystem fliegen
- Sterne, die durch Begegnungen mit Schwarzen Löchern beschleunigt werden
- Raumsonden nach Swing-by-Manövern
- Galaxien, die bei Begegnungen nicht gebunden werden

15. Beispiel: Entscheidung zwischen Ellipse, Parabel und Hyperbel

Ein Objekt befindet sich im Abstand der Erde von der Sonne: $r = 1\mathrm{AE} = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Die Fluchtgeschwindigkeit von der Sonne in diesem Abstand ist: $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM_S}{r}}$
Mit: $GM_S = 1{.}327 \cdot 10^{20}\mathrm{m^3/s^2}$
folgt: $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{.}327 \cdot 10^{20}}{1{.}496 \cdot 10^{11}}}$
$v_\mathrm{esc} \approx 42100\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{esc} \approx 42{.}1\mathrm{km/s}$

Fall 1: $v = 30\mathrm{km/s}$
Dann ist $v < v_\mathrm{esc}$
Die Bahn ist gebunden: Ellipse

Fall 2: $v = 42{.}1\mathrm{km/s}$
Dann ist $v = v_\mathrm{esc}$
Die Bahn ist eine Parabel

Fall 3: $v = 50\mathrm{km/s}$
Dann ist $v > v_\mathrm{esc}$
Die Bahn ist ungebunden: Hyperbel

16. Bedeutung im gesamten Universum

Die Keplerschen Gesetze sind nicht nur für das Sonnensystem wichtig.
Sie erklären oder unterstützen:
- Planetenbahnen
- Mondbahnen
- Satellitenbahnen
- Kometenbahnen
- Asteroidenbahnen
- Doppelsterne
- Exoplaneten
- Sternbahnen um Schwarze Löcher
- Massenbestimmungen in Sternsystemen
- Gravitationswechselwirkungen in Galaxien
- Raumfahrtbahnen
- Swing-by-Manöver

17. Grenzen der Keplerschen Gesetze

Die Keplerschen Gesetze gelten ideal für zwei Körper.
In der Wirklichkeit gibt es aber Störungen durch:
- andere Planeten
- nicht kugelförmige Massen
- Gezeitenkräfte
- Reibung in Gasen oder Atmosphären
- Strahlungsdruck
- relativistische Effekte
Bei starken Gravitationsfeldern, etwa nahe Schwarzen Löchern, braucht man Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie.
Ein berühmtes Beispiel ist die Periheldrehung des Merkur.
Seine Ellipsenbahn dreht sich langsam im Raum.
Newtonsche Gravitation erklärt den größten Teil durch Störungen anderer Planeten,
aber der restliche Anteil wird durch die Allgemeine Relativitätstheorie erklärt.

18. Kurzfassung

Die Keplerschen Gesetze lauten:

Erstes Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen. Die Sonne steht in einem Brennpunkt.

Zweites Gesetz: Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
$\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \mathrm{konstant}$

Drittes Gesetz: Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse.
$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}a^3$

Die Bahnformen hängen von der Gesamtenergie ab:
- $E < 0$: Ellipse
- $E = 0$: Parabel
- $E > 0$: Hyperbel

Damit beschreiben die Keplerschen Gesetze nicht nur die Planeten im Sonnensystem,
sondern auch Satelliten, Monde, Kometen, Exoplaneten, Doppelsterne, Sternbahnen um Schwarze Löcher und viele Bewegungen im Universum.