Gravitation im Sonnensystem

Die Gravitation ist die Kraft, die das Sonnensystem zusammenhält.
Die Sonne enthält etwa $99{.}86%$ der gesamten Masse des Sonnensystems.
Deshalb dominiert ihre Gravitation die Bewegung der Planeten, Kometen, Asteroiden und vieler Raumsonden.
Die wichtigste Gleichung ist Newtons Gravitationsgesetz: $F_G = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ mit $G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$

1. Gravitation zwischen Sonne und Erde

Gegeben:
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
$r = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Gesucht: $F_G$
Rechnung:
$F_G = G \dfrac{M_S M_E}{r^2}$
$F_G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{(1{.}496 \cdot 10^{11})^2}$
$F_G \approx 3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$
Die Sonne zieht die Erde also mit etwa $3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$ an.
Diese Kraft hält die Erde auf ihrer Bahn.

2. Warum fällt die Erde nicht in die Sonne?

Die Erde fällt tatsächlich ständig zur Sonne, aber sie besitzt gleichzeitig eine seitliche Bahngeschwindigkeit.
Dadurch „verfehlt“ sie die Sonne dauerhaft.
Für eine Kreisbahn gilt näherungsweise: $F_G = F_Z$
$G \dfrac{M_S M_E}{r^2} = M_E \dfrac{v^2}{r}$
Die Erdmasse kürzt sich heraus: $G \dfrac{M_S}{r^2} = \dfrac{v^2}{r}$
$v = \sqrt{\dfrac{GM_S}{r}}$
Einsetzen: $v = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}{1{.}496 \cdot 10^{11}}}$
$v \approx 29780\mathrm{m/s}$
$v \approx 29{.}8\mathrm{km/s}$
Die Erde bewegt sich also mit etwa $30\mathrm{km/s}$ um die Sonne.

3. Umlaufzeit der Erde

Die Umlaufzeit folgt aus: $T = \dfrac{2\pi r}{v}$
Einsetzen: $T = \dfrac{2\pi \cdot 1{.}496 \cdot 10^{11}}{29780}d$
$T \approx 3{.}16 \cdot 10^7\mathrm{s}$
Umrechnung in Tage: $T = \dfrac{3{.}16 \cdot 10^7}{86400}d$
$T \approx 365\mathrm{d}$
Das ergibt ungefähr ein Jahr.

4. Keplers drittes Gesetz im Sonnensystem

Für Planeten um die Sonne gilt: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM_S}a^3$ Dabei ist $a$ die große Halbachse der Bahn. Für Vergleiche innerhalb des Sonnensystems benutzt man oft: $\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^3$ Wenn man Erde als Vergleich nimmt: $T^2 = a^3$ wenn $T$ in Jahren und $a$ in Astronomischen Einheiten gemessen wird.

Beispiel: Marsjahr

Mars hat ungefähr: $a_M = 1{.}524\mathrm{AE}$
Dann gilt: $T_M = \sqrt{a_M^3}$
$T_M = \sqrt{1{.}524^3}a$
$T_M \approx 1{.}88\mathrm{a}$
In Tagen: $T_M = 1{.}88 \cdot 365{.}25 d$
$T_M \approx 687\mathrm{d}$
Ein Marsjahr dauert also etwa $687$ Erdentage.

5. Planetenbahnen sind Ellipsen

Nach dem ersten Keplerschen Gesetz bewegen sich Planeten auf Ellipsenbahnen.
Die Sonne steht in einem Brennpunkt.
Für eine Ellipse gilt: $0 \le e < 1$
Dabei ist $e$ die Exzentrizität.
Die Bahngleichung lautet: $r(\varphi) = \dfrac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos(\varphi)}$
Der sonnennächste Punkt heißt Perihel: $r_P = a(1 - e)$
Der sonnenfernste Punkt heißt Aphel: $r_A = a(1 + e)$

Beispiel: Erdbahn

Gegeben:
$a = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$e = 0{.}0167$
Perihel: $r_P = a(1 - e)$
$r_P = 1{.}496 \cdot 10^{11}(1 - 0{.}0167)$
$r_P \approx 1{.}471 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Aphel: $r_A = a(1 + e)$
$r_A = 1{.}496 \cdot 10^{11}(1 + 0{.}0167)$
$r_A \approx 1{.}521 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Die Erde ist der Sonne im Perihel etwa $1{.}471 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$ entfernt und im Aphel etwa $1{.}521 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$

6. Geschwindigkeit auf einer Ellipsenbahn

Auf einer Ellipsenbahn ist die Geschwindigkeit nicht konstant.
Im Perihel ist der Planet schneller, im Aphel langsamer.
Die wichtigste Gleichung dafür ist die Vis-Viva-Gleichung: $v^2 = GM_S\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)$

Beispiel: Geschwindigkeit der Erde im Perihel

Gegeben:
$GM_S = 1{.}327 \cdot 10^{20}\mathrm{m^3/s^2}$
$a = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$r_P = 1{.}471 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Rechnung:
$v_P = \sqrt{GM_S\left(\dfrac{2}{r_P} - \dfrac{1}{a}\right)}$
$v_P \approx 30290\mathrm{m/s}$
$v_P \approx 30{.}3\mathrm{km/s}$

Beispiel: Geschwindigkeit der Erde im Aphel

$r_A = 1{.}521 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$v_A = \sqrt{GM_S\left(\dfrac{2}{r_A} - \dfrac{1}{a}\right)}$
$v_A \approx 29290\mathrm{m/s}$
$v_A \approx 29{.}3\mathrm{km/s}$
Die Erde ist im Perihel also ungefähr $1\mathrm{km/s}$ schneller als im Aphel.

7. Ellipse, Parabel und Hyperbel

Die Bahnform hängt von der mechanischen Gesamtenergie ab: $E = \dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{M_Sm}{r}$

Ellipse

Für gebundene Bahnen gilt: $E < 0$
Dann bleibt der Körper dauerhaft an die Sonne gebunden.
Beispiele:
- Planeten
- Zwergplaneten
- viele Asteroiden
- periodische Kometen

Parabel

Für den Grenzfall gilt: $E = 0$
Dann besitzt der Körper genau Fluchtgeschwindigkeit.
$v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM_S}{r}}$
Die Bahn ist eine Parabel.

Hyperbel

Für ungebundene Bahnen gilt: $E > 0$
Dann ist die Geschwindigkeit größer als die Fluchtgeschwindigkeit: $v > v_\mathrm{esc}$
Die Bahn ist eine Hyperbel.
Beispiele:
- interstellare Objekte
- manche Kometen
- Raumsonden nach Swing-by-Manövern

8. Beispiel: Fluchtgeschwindigkeit von der Sonne bei der Erde

Gegeben:
$r = 1\mathrm{AE} = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$GM_S = 1{.}327 \cdot 10^{20}\mathrm{m^3/s^2}$
Gesucht:
$v_\mathrm{esc}$
Rechnung:
$v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM_S}{r}}$
$v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{.}327 \cdot 10^{20}}{1{.}496 \cdot 10^{11}}}$
$v_\mathrm{esc} \approx 42100\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{esc} \approx 42{.}1\mathrm{km/s}$
Vergleich:
Erdbahngeschwindigkeit: $v_E \approx 29{.}8\mathrm{km/s}$
Da gilt: $v_E < v_\mathrm{esc}$ ist die Erdbahn gebunden, also elliptisch.

9. Entscheidung der Bahnform

Ein Objekt befindet sich bei $1\mathrm{AE}$ Abstand von der Sonne.
Fall 1: $v = 30\mathrm{km/s}$
Da $30\mathrm{km/s} < 42{.}1\mathrm{km/s}$ gilt: $E < 0$
Die Bahn ist eine Ellipse.
Fall 2: $v = 42{.}1\mathrm{km/s}$
Da $v = v_\mathrm{esc}$ gilt: $E = 0$
Die Bahn ist eine Parabel.
Fall 3: $v = 50\mathrm{km/s}$
Da $50\mathrm{km/s} > 42{.}1\mathrm{km/s}$ gilt: $E > 0$
Die Bahn ist eine Hyperbel.

10. Gravitation zwischen Erde und Mond

Auch Mondbahnen entstehen durch Gravitation.
Gegeben:
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
$M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22}\mathrm{kg}$
$r = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$
Rechnung:
$F_G = G \dfrac{M_E M_M}{r^2}$
$F_G = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22}}{(3{.}844 \cdot 10^8)^2}$
$F_G \approx 1{.}98 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
Diese Kraft hält den Mond auf seiner Bahn um die Erde.

11. Warum der Mond nicht auf die Erde fällt

Für die Mondbahn gilt näherungsweise: $v = \sqrt{\dfrac{GM_E}{r}}$
Einsetzen: $v = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{3{.}844 \cdot 10^8}}$
$v \approx 1018\mathrm{m/s}$
$v \approx 1{.}02\mathrm{km/s}$
Der Mond bewegt sich also seitlich schnell genug, um die Erde ständig zu „verfehlen“.

12. Gezeiten im Sonnensystem

Gezeiten entstehen, weil die Gravitationskraft mit dem Abstand abnimmt.
Die Mondseite der Erde wird stärker vom Mond angezogen als das Erdzentrum.
Die mondferne Seite wird schwächer angezogen.
Die Gezeitenwirkung ist näherungsweise proportional zu: $F_\mathrm{Gezeit} \sim \dfrac{M}{r^3}$
Deshalb ist der Mond für die irdischen Gezeiten wichtiger als die Sonne, obwohl die Sonne viel massereicher ist.
Der Einfluss des Mondes überwiegt durch seine Nähe!

Vergleich Sonne und Mond als Gezeitenerzeuger

Mond:
$M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22}\mathrm{kg}$
$r_M = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$
Sonne:
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$r_S = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Vergleich:
$\dfrac{\text{Gezeit Mond}}{\text{Gezeit Sonne}} = \dfrac{M_M/r_M^3}{M_S/r_S^3}$
$\dfrac{\text{Gezeit Mond}}{\text{Gezeit Sonne}} = \dfrac{M_M r_S^3}{M_S r_M^3}$
Einsetzen:
$\dfrac{\text{Gezeit Mond}}{\text{Gezeit Sonne}} \approx \dfrac{7{.}348 \cdot 10^{22}(1{.}496 \cdot 10^{11})^3}{1{.}989 \cdot 10^{30}(3{.}844 \cdot 10^8)^3}$
$\dfrac{\text{Gezeit Mond}}{\text{Gezeit Sonne}} \approx 2{.}2$
Der Mond erzeugt also ungefähr $2{.}2$-mal stärkere Gezeiten als die Sonne.

13. Gravitation und Asteroiden

Asteroiden bewegen sich ebenfalls auf Bahnen um die Sonne.
Viele befinden sich im Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter.
Jupiter beeinflusst diese Bahnen stark, weil er der massereichste Planet ist.
Jupitermasse: $M_J = 1{.}898 \cdot 10^{27}\mathrm{kg}$
Sonnenmasse: $M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
Vergleich:
$\dfrac{M_J}{M_S} = \dfrac{1{.}898 \cdot 10^{27}}{1{.}989 \cdot 10^{30}}$
$\dfrac{M_J}{M_S} \approx 9{.}55 \cdot 10^{-4}$
Jupiter hat also nur etwa $0{.}0955%$ der Sonnenmasse, ist aber trotzdem massiv genug, um Asteroidenbahnen stark zu stören.

14. Gravitation und Kometen

Kometen besitzen oft stark elliptische Bahnen.
Ein Komet ist weit draußen langsam und nahe der Sonne sehr schnell.
Beispiel mit großer Halbachse: $a = 18\mathrm{AE}$
Nach Keplers drittem Gesetz: $T^2 = a^3$
$T = \sqrt{18^3}$
$T = \sqrt{5832}$
$T \approx 76{.}4\mathrm{a}$
Ein solcher Komet hätte eine Umlaufzeit von etwa $76$ Jahren.
Das passt ungefähr zur Größenordnung des Halleyschen Kometen.

15. Raumsonden und Hyperbelbahnen

Raumsonden können durch Swing-by-Manöver Energie gewinnen oder verlieren.
Dabei bewegen sie sich relativ zu einem Planeten auf einer Hyperbelbahn.
Der Planet verändert die Richtung und Geschwindigkeit der Sonde relativ zur Sonne.
Wenn eine Sonde nach einem Swing-by schneller als die lokale Fluchtgeschwindigkeit ist,
verlässt sie das Sonnensystem auf einer hyperbolischen Bahn.
Bedingung: $v > v_\mathrm{esc}$
Dann gilt: $E > 0$

16. Gravitationsdominanz der Sonne

Die Sonne dominiert das Sonnensystem, aber lokal können Planeten eigene Gravitationsbereiche besitzen.
Ein Maß dafür ist die Hill-Sphäre: $r_H \approx a \sqrt[3]{\dfrac{m}{3M_S}}$
Für die Erde: $a = 1\mathrm{AE} = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$m = M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
Rechnung:
$r_H \approx 1{.}496 \cdot 10^{11}\sqrt[3]{\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{3 \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}}$
$r_H \approx 1{.}50 \cdot 10^9\mathrm{m}$
Das sind etwa: $r_H \approx 1{.}5 \cdot 10^6\mathrm{km}$
Der Mond ist etwa $384000\mathrm{km}$ entfernt und liegt damit innerhalb der Hill-Sphäre der Erde.

17. Zusammenfassung

In unserem Sonnensystem sorgt Gravitation dafür, dass:
- Planeten die Sonne auf Ellipsenbahnen umlaufen
- Monde ihre Planeten umlaufen
- Kometen stark elliptische Bahnen besitzen können
- interstellare Objekte hyperbolische Bahnen haben können
- Raumsonden durch Swing-by-Manöver ihre Bahn verändern
- Gezeiten auf Planeten und Monden entstehen
- Asteroiden durch Jupiter und andere Planeten gestört werden

Die Bahnform hängt von der Gesamtenergie $E_g$ ab:
$E_g < 0$: Ellipse
$E_g = 0$: Parabel
$E_g > 0$: Hyperbel

Die wichtigsten Gleichungen sind:
$F_G = G \dfrac{m_1m_2}{r^2}$ : Gravitationskraft (Newtonsches Gesetz)
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ : Bahngeschwindigkeit
$v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ : Fluchtgeschwindigkeit
$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}a^3$ : Umlaufszeit
$v^2 = GM\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)$ : Vis-Visa-Gleichung