Gravitation auf der Erde

Die Gravitation auf der Erde ist diejenige Form der Gravitation, die wir direkt im Alltag erfahren.
Die Gravitation auf der Erde bestimmt:
- Gewicht
- Fallen von Körpern
- Bewegung von Wasser und Atmosphäre
- Gezeiten
- Raketenstarts
- Satellitenbahnen
- Bewegung des Mondes
Die Gravitation der Erde entsteht durch ihre Masse: $M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$ und wirkt auf alle Körper.

1. Newtonsche Gravitation auf der Erde

Die grundlegende Gleichung lautet: $F_G = G\dfrac{M_E m}{r^2}$
mit: $G = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{\mathrm{N,m^2}}{\mathrm{kg^2}}$
$M_E$ : Erdmasse
$m$ : Masse des betrachteten Körpers
$r$ : Abstand vom Erdmittelpunkt
An der Erdoberfläche gilt: $r = R_E = 6{.}371 \cdot 10^6\mathrm{m}$

2. Fallbeschleunigung der Erde

Die Gravitationskraft erzeugt die Erdbeschleunigung: $F = ma$
Setzt man: $F_G = ma$
folgt: $G\dfrac{M_E m}{R_E^2}=ma$
Die Masse $m$ kürzt sich heraus: $g = G\dfrac{M_E}{R_E^2}$
Einsetzen: $g = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{(6{.}371 \cdot 10^6)^2}$
$g \approx 9{.}81\mathrm{m/s^2}$
Das ist die bekannte Erdbeschleunigung.

3. Bedeutung im Alltag

$g=9{.}81\mathrm{m/s^2}$ bedeutet:
Die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers nimmt pro Sekunde um ungefähr $9{.}81\mathrm{m/s}$ zu.

4. Beispiel: Freier Fall eines Balls

Ein Ball wird fallen gelassen.
Anfangsgeschwindigkeit: $v_0 = 0$
Nach: $t = 3\mathrm{s}$
gilt: $v = gt$
$v = 9{.}81 \cdot 3$
$v \approx 29{.}4\mathrm{m/s}$
Der Ball bewegt sich nach $3\mathrm{s}$ mit ungefähr: $29{.}4\mathrm{m/s}$
Das entspricht: $29{.}4\mathrm{m/s} \approx 106\mathrm{km/h}$

5. Fallhöhe beim freien Fall

Die Fallstrecke ist: $s = \dfrac{1}{2}gt^2$
Für: $t=3\mathrm{s}$
$s = \dfrac{1}{2}\cdot 9{.}81\cdot 3^2$
$s = 4{.}905\cdot 9$
$s \approx 44{.}1\mathrm{m}$
Ein Körper fällt also in $3\mathrm{s}$ ungefähr: $44\mathrm{m}$

6. Gewichtskraft

Im Alltag erleben wir Gravitation als Gewicht.
Die Gewichtskraft lautet: $F_G = mg$

Beispiel: Mensch mit $70\mathrm{kg}$

$F_G = 70 \cdot 9{.}81$
$F_G \approx 687\mathrm{N}$
Die Erde zieht einen Menschen mit ungefähr: $687\mathrm{N}$ an.

7. Unterschied zwischen Masse und Gewicht

Masse: $70\mathrm{kg}$ bleibt überall gleich.
Gewichtskraft: $F_G = mg$ ändert sich mit der lokalen Gravitation.

Beispiel: Mond

Mondgravitation: $g_M \approx 1{.}62\mathrm{m/s^2}$
Gewichtskraft: $F_M = 70 \cdot 1{.}62$
$F_M \approx 113\mathrm{N}$
Die Masse bleibt: $70\mathrm{kg}$
Aber das Gewicht ist viel kleiner.

8. Warum fallen alle Körper gleich schnell?

Die Bewegungsgleichung lautet: $F = ma$
Gravitationskraft: $F_G = G\dfrac{M_E m}{R_E^2}$
Setzt man gleich: $G\dfrac{M_E m}{R_E^2}=ma$
Die Masse $m$ kürzt sich heraus: $a = G\dfrac{M_E}{R_E^2}=g$
Deshalb fallen schwere und leichte Körper im Vakuum gleich schnell.

9. Beispiel: Hammer und Feder

Im Vakuum: Hammer und Feder fallen gleich schnell.
Auf der Erde mit Luft: Die Feder wird stark durch Luftreibung gebremst.
Die Gravitation selbst wirkt aber gleich.

10. Luftwiderstand im Alltag

In Wirklichkeit wirkt zusätzlich Luftreibung: $F_W \sim v^2$
Bei großen Geschwindigkeiten kann die Luftreibung die Gewichtskraft ausgleichen.
Dann entsteht Endgeschwindigkeit.

Beispiel: Fallschirmspringer

Gewichtskraft: $F_G = mg$
Bei: $m=80\mathrm{kg}$
$F_G = 80 \cdot 9{.}81$ N
$F_G \approx 785\mathrm{N}$
Wenn der Luftwiderstand ebenfalls ungefähr: $785\mathrm{N}$
beträgt, gilt: $F_\mathrm{gesamt}=0$
Dann ist: $a=0$ und die Geschwindigkeit bleibt damit konstant.

11. Gravitation und Springen

Beim Springen muss man gegen die Gravitation Arbeit leisten.
Potentielle Energie: $E_\mathrm{pot}=mgh$

Beispiel: Sprung um $0{.}5\mathrm{m}$

$m=70\mathrm{kg}$
$h=0{.}5\mathrm{m}$
$E_\mathrm{pot}=70\cdot 9{.}81\cdot 0{.}5$ J
$E_\mathrm{pot}\approx 343\mathrm{J}$
Der Körper gewinnt etwa: $343\mathrm{J}$ potentielle Energie.

12. Potentielle Energie im Alltag

Die Gravitation speichert Energie in Höhe.
Beispiele:
- Wasserkraftwerke
- angehobene Gegenstände
- Achterbahnen
- Staudämme

Beispiel: Wasser im Staudamm

$m=1000\mathrm{kg}$
$h=100\mathrm{m}$
$E_\mathrm{pot}=1000\cdot 9{.}81\cdot 100$ J
$E_\mathrm{pot}=981000\mathrm{J}$
$E_\mathrm{pot}\approx 0{.}98\mathrm{MJ}$

13. Gravitation im Aufzug

Im beschleunigten Aufzug ändert sich das scheinbare Gewicht.

Aufzug nach oben beschleunigt

$F_N = m(g+a)$
$m=70\mathrm{kg}$
$a=2\mathrm{m/s^2}$
$F_N = 70(9{.}81+2)$
$F_N \approx 827\mathrm{N}$
Man fühlt sich schwerer.

Aufzug nach unten beschleunigt

$F_N = m(g-a)$
Für: $a=2\mathrm{m/s^2}$
$F_N = 70(9{.}81-2)$
$F_N \approx 547\mathrm{N}$
Man fühlt sich leichter.

14. Schwerelosigkeit

Astronauten sind nicht gravitationsfrei.
Auf der ISS gilt noch ungefähr: $g_\mathrm{ISS}\approx 8{.}7\mathrm{m/s^2}$
Die Schwerelosigkeit entsteht, weil Raumstation und Astronauten gemeinsam frei fallen.

15. Variation von $g$ mit der Höhe

Die Gravitation nimmt mit Abstand ab: $g(h)=G\dfrac{M_E}{(R_E+h)^2}$

Beispiel: Höhe $400\mathrm{km}$

$h=4{.}00\cdot 10^5\mathrm{m}$
$g(h)=6{.}674\cdot 10^{-11}\dfrac{5{.}972\cdot 10^{24}}{(6{.}371\cdot 10^6+4{.}00\cdot 10^5)^2}\mathrm{m/s^2}$
$g(h)\approx 8{.}7\mathrm{m/s^2}$
Also nur wenig kleiner als auf der Erdoberfläche.

16. Erste kosmische Geschwindigkeit

Für eine Kreisbahn um die Erde gilt: $v=\sqrt{\dfrac{GM_E}{R_E}}$
Einsetzen:
$v=\sqrt{\dfrac{6{.}674\cdot 10^{-11}\cdot 5{.}972\cdot 10^{24}}{6{.}371\cdot 10^6}}\mathrm{m/s}$
$v\approx 7900\mathrm{m/s}$
$v\approx 7{.}9\mathrm{km/s}$
Das ist die notwendige Geschwindigkeit für einen niedrigen Erdorbit.

17. Zweite kosmische Geschwindigkeit

Die Fluchtgeschwindigkeit lautet: $v_\mathrm{esc}=\sqrt{\dfrac{2GM_E}{R_E}}$
Da: $v_\mathrm{esc}=\sqrt{2}v_\mathrm{orbit}$
folgt: $v_\mathrm{esc}=1{.}414\cdot 7{.}9\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{esc}\approx 11{.}2\mathrm{km/s}$
Ein Körper mit mindestens $11{.}2\mathrm{km/s}$ kann das Erdgravitationsfeld verlassen.

18. Gravitation und Gezeiten

Der Mond zieht die Erde unterschiedlich stark an.
Die mondnahe Seite wird stärker angezogen als die mondferne Seite.
Dadurch entstehen Gezeitenkräfte.
Die Gezeitenbeschleunigung ist näherungsweise: $a_\mathrm{Gezeit}\approx \dfrac{2GM_MR_E}{r^3}$
Mit: $M_M=7{.}348\cdot 10^{22}\mathrm{kg}$
$r=3{.}844\cdot 10^8\mathrm{m}$
$R_E=6{.}371\cdot 10^6\mathrm{m}$
folgt: $a_\mathrm{Gezeit}\approx 1{.}1\cdot 10^{-6}\mathrm{m/s^2}$
Das ist klein, reicht aber für Ebbe und Flut.

19. Gravitation im Inneren der Erde

Im Erdinneren nimmt die Gravitation zunächst ab.
Für eine homogene Kugel gilt: $g(r)\sim r$
Im Mittelpunkt wäre: $g(0)=0$ , weil die Anziehung aus allen Richtungen symmetrisch ist.

20. Beispiel: Tunnel durch die Erde

Bei homogener Erde gilt: $F(r)\sim r$
Das entspricht einer harmonischen Schwingung.
Die Periodendauer wäre ungefähr: $T\approx 84\mathrm{min}$
Die Fallzeit durch den Erdmittelpunkt wäre: $\dfrac{T}{2}\approx 42\mathrm{min}$
Das ist ein berühmtes theoretisches Resultat.

21. Erdrotation und scheinbare Gravitation

Durch die Erdrotation entsteht Zentrifugalwirkung.
Am Äquator wird die effektive Gravitation kleiner.
Zentrifugalbeschleunigung: $a_Z=\omega^2R_E$
Mit: $\omega=\dfrac{2\pi}{86400}$
$\omega\approx 7{.}27\cdot 10^{-5}\mathrm{s^{-1}}$
Dann: $a_Z=(7{.}27\cdot 10^{-5})^2\cdot 6{.}371\cdot 10^6$
$a_Z\approx 0{.}034\mathrm{m/s^2}$
Die effektive Gravitation am Äquator ist also ungefähr: $9{.}81-0{.}034$
$g_\mathrm{eff}\approx 9{.}78\mathrm{m/s^2}$

22. Gravitation und Relativität

Einstein beschreibt Gravitation als Raumzeitkrümmung.
Die Zeit vergeht in Gravitationsfeldern langsamer.
Für schwache Felder: $d\tau \approx dt\left(1-\dfrac{GM}{rc^2}\right)$
Das ist wichtig für GPS-Satelliten.

23. Beispiel: GPS-Korrektur

GPS-Satelliten bewegen sich schnell und befinden sich höher im Gravitationsfeld.
Dadurch laufen ihre Uhren anders als Uhren auf der Erde.
Die relativistischen Korrekturen betragen ungefähr: $38\mathrm{\mu s}$ pro Tag.
Ohne diese Korrektur würden Navigationsfehler von mehreren Kilometern pro Tag entstehen.

24. Vergleich zur täglichen Erfahrung

Im Alltag erleben wir Gravitation als:
- Gewicht
- Fallen
- Springen
- Wurfbewegungen
- Flüssigkeitsbewegung
- Atmosphärendruck
- Gezeiten
- Raumfahrt
Die Gravitation erscheint alltäglich „selbstverständlich“, ist aber tatsächlich eine fundamentale Wechselwirkung mit enormer Reichweite.

25. Zusammenfassung

Die Gravitation auf der Erde wird beschrieben durch: $F_G=G\dfrac{M_Em}{r^2}$
An der Erdoberfläche ergibt sich: $g\approx 9{.}81\mathrm{m/s^2}$

Wichtige Formeln:
- Gewichtskraft : $F_G=mg$
- Geschwindigkeit bei konstanter Beschleunigung : $v=gt$
- Weg bei konstanter Beschleunigung : $s=\dfrac{1}{2}gt^2$
- Potentielle Energie im Schwerefeld der Erde : $E_\mathrm{pot}=mgh$
- 1. Kosmische Geschwindigkeit : $v_\mathrm{orbit}=\sqrt{\dfrac{GM_E}{R_E}}$
- 2. Kosmische Geschwindigkeit : $v_\mathrm{esc}=\sqrt{\dfrac{2GM_E}{R_E}}$

Wichtige Ergebnisse:
Fallbeschleunigung: $9{.}81\mathrm{m/s^2}$
erste kosmische Geschwindigkeit: $7{.}9\mathrm{km/s}$
Fluchtgeschwindigkeit: $11{.}2\mathrm{km/s}$
Gravitation auf ISS-Höhe: $8{.}7\mathrm{m/s^2}$
Gezeitenbeschleunigung des Mondes: $1{.}1\cdot 10^{-6}\mathrm{m/s^2}$

Die Gravitation bestimmt damit nahezu alle großskaligen Bewegungen auf und um die Erde und verbindet alltägliche Erfahrungen direkt mit der Himmelsmechanik und der modernen Relativitätstheorie.