Gravitation im System Sonne-Erde

Das System Sonne-Erde wird fast vollständig durch die Gravitation der Sonne bestimmt.
Die Erde bewegt sich nicht geradeaus, weil die Sonne sie anzieht.
Sie fällt ständig zur Sonne, besitzt aber eine seitliche Geschwindigkeit,
sodass sie die Sonne dauerhaft „verfehlt“. Dadurch entsteht die Erdbahn.
Die wichtigste Gleichung ist: $F_G = G \dfrac{M_S M_E}{r^2}$
mit: $G = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
$r = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$

1. Gravitationskraft zwischen Sonne und Erde

Einsetzen: $F_G = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{(1{.}496 \cdot 10^{11})^2}$
Zähler: $1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24} \approx 1{.}188 \cdot 10^{55}$
Mit $G$: $6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}188 \cdot 10^{55} \approx 7{.}93 \cdot 10^{44}$
Nenner: $(1{.}496 \cdot 10^{11})^2 \approx 2{.}238 \cdot 10^{22}$
Also: $F_G \approx \dfrac{7{.}93 \cdot 10^{44}}{2{.}238 \cdot 10^{22}}$
$F_G \approx 3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$
Die Sonne zieht die Erde also mit etwa $3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$ an.
Gleichzeitig zieht die Erde die Sonne mit exakt derselben Kraft an, aber in entgegengesetzter Richtung: $\vec{F}*{S \rightarrow E} = -\vec{F}*{E \rightarrow S}$

2. Warum kreist die Erde um die Sonne?

Für eine näherungsweise Kreisbahn muss die Gravitationskraft genau die Zentripetalkraft liefern:
$F_G = F_Z$ und $G \dfrac{M_S M_E}{r^2} = M_E \dfrac{v^2}{r}$
Die Erdmasse $M_E$ kürzt sich heraus: $G \dfrac{M_S}{r^2} = \dfrac{v^2}{r}$
Multiplikation mit $r$ ergibt: $v^2 = \dfrac{GM_S}{r}$
Also: $v = \sqrt{\dfrac{GM_S}{r}}$
Einsetzen: $v = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}{1{.}496 \cdot 10^{11}}}$
$v \approx 2{.}98 \cdot 10^4\mathrm{m/s}$
$v \approx 29{.}8\mathrm{km/s}$
Die Erde bewegt sich also mit ungefähr $29{.}8\mathrm{km/s}$ um die Sonne.

3. Umlaufzeit der Erde

Für eine Kreisbahn gilt: $T = \dfrac{2\pi r}{v}$
Einsetzen: $T = \dfrac{2\pi \cdot 1{.}496 \cdot 10^{11}}{2{.}98 \cdot 10^4}$
$T \approx 3{.}16 \cdot 10^7\mathrm{s}$
Umrechnung in Tage: $T = \dfrac{3{.}16 \cdot 10^7}{86400}$
$T \approx 365{.}25\mathrm{d}$
Das entspricht einem Jahr.

4. Keplersches Gesetz für Sonne-Erde

Aus Gravitation und Kreisbewegung folgt: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM_S}r^3$
Für Ellipsenbahnen ersetzt man $r$ durch die große Halbachse $a$: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM_S}a^3$
Für die Erde: $a = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{a^3}{GM_S}}$
Einsetzen: $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{(1{.}496 \cdot 10^{11})^3}{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}}$
$T \approx 3{.}156 \cdot 10^7\mathrm{s}$
$T \approx 365{.}25\mathrm{d}$

5. Die Erdbahn ist eine Ellipse

Die Erde bewegt sich nicht exakt auf einem Kreis, sondern auf einer Ellipse.
Für die Erdbahn gilt ungefähr: $a = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$ und $e = 0{.}0167$
Dabei ist $e$ die Exzentrizität. Da $e$ sehr klein ist, ist die Erdbahn fast kreisförmig.
Der sonnennächste Punkt heißt Perihel: $r_P = a(1 - e)$
$r_P = 1{.}496 \cdot 10^{11}(1 - 0{.}0167)$
$r_P \approx 1{.}471 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Der sonnenfernste Punkt heißt Aphel: $r_A = a(1 + e)$
$r_A = 1{.}496 \cdot 10^{11}(1 + 0{.}0167)$
$r_A \approx 1{.}521 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Die Entfernung Erde-Sonne schwankt also ungefähr zwischen: $147{.}1$ Millionen Kilometer und $152{.}1$ Millionen Kilometer.

6. Geschwindigkeit im Perihel und Aphel

Auf einer Ellipsenbahn ist die Geschwindigkeit nicht konstant.
Die Vis-Viva-Gleichung lautet: $v^2 = GM_S\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)$

Perihel

$r_P = 1{.}471 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$GM_S = 1{.}327 \cdot 10^{20}\mathrm{m^3/s^2}$
$v_P = \sqrt{GM_S\left(\dfrac{2}{r_P} - \dfrac{1}{a}\right)}$
$v_P \approx 30290\mathrm{m/s}$
$v_P \approx 30{.}3\mathrm{km/s}$

Aphel

$r_A = 1{.}521 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$v_A = \sqrt{GM_S\left(\dfrac{2}{r_A} - \dfrac{1}{a}\right)}$
$v_A \approx 29290\mathrm{m/s}$
$v_A \approx 29{.}3\mathrm{km/s}$
Die Erde ist im Perihel etwa $1{.}0\mathrm{km/s}$ schneller als im Aphel.

7. Gravitationsfeld der Sonne bei der Erde

Das Gravitationsfeld der Sonne am Ort der Erde ist: $g_S = G \dfrac{M_S}{r^2}$
Einsetzen: $g_S = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{1{.}989 \cdot 10^{30}}{(1{.}496 \cdot 10^{11})^2}$
$g_S \approx 5{.}93 \cdot 10^{-3}\mathrm{m/s^2}$
Das ist viel kleiner als die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche: $g_E \approx 9{.}81\mathrm{m/s^2}$
Aber es reicht aus, um die Erde auf ihrer Bahn zu halten.

8. Vergleich: Sonnenanziehung und Erdanziehung

Die Sonne zieht einen Menschen auf der Erde ebenfalls an.
Für einen Menschen mit: $m = 70\mathrm{kg}$
gilt: $F_S = m g_S$
$F_S = 70 \cdot 5{.}93 \cdot 10^{-3}$
$F_S \approx 0{.}415\mathrm{N}$
Die Erde zieht denselben Menschen an mit: $F_E = mg_E$
$F_E = 70 \cdot 9{.}81$
$F_E \approx 687\mathrm{N}$
Vergleich: $\dfrac{F_E}{F_S} = \dfrac{687}{0{.}415}$
$\dfrac{F_E}{F_S} \approx 1655$
Die Erde zieht einen Menschen an ihrer Oberfläche also etwa $1655$-mal stärker an als die Sonne.

9. Energie der Erde auf ihrer Bahn

Die Gesamtenergie einer elliptischen Bahn ist: $E = -G\dfrac{M_S M_E}{2a}$
Einsetzen: $E = -6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{2 \cdot 1{.}496 \cdot 10^{11}}$
$E \approx -2{.}65 \cdot 10^{33}\mathrm{J}$
Das negative Vorzeichen bedeutet: Die Erde ist gravitativ an die Sonne gebunden.

10. Fluchtgeschwindigkeit der Erde von der Sonne

Die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnenfeld im Abstand der Erde ist: $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM_S}{r}}$
Einsetzen: $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{.}327 \cdot 10^{20}}{1{.}496 \cdot 10^{11}}}$
$v_\mathrm{esc} \approx 42100\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{esc} \approx 42{.}1\mathrm{km/s}$
Die Erdbahngeschwindigkeit beträgt: $v_E \approx 29{.}8\mathrm{km/s}$
Da gilt: $v_E < v_\mathrm{esc}$ ist die Erde an die Sonne gebunden.

11. Ellipse, Parabel und Hyperbel im System Sonne-Erde

Die Bahnform hängt von der Gesamtenergie ab: $E = \dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{M_Sm}{r}$

Ellipse

Wenn gilt: $E < 0$ ist die Bahn gebunden.
Das ist bei der Erde der Fall.
Die Erde besitzt eine Ellipsenbahn mit: $e = 0{.}0167$

Parabel

Wenn gilt: $E = 0$ dann besitzt ein Körper genau die Fluchtgeschwindigkeit: $v = v_\mathrm{esc}$
Bei Erdabstand von der Sonne: $v = 42{.}1\mathrm{km/s}$
Die Bahn wäre dann eine Parabel.

Hyperbel

Wenn gilt: $E > 0$ ist der Körper nicht an die Sonne gebunden.
$v > v_\mathrm{esc}$
Bei Erdabstand von der Sonne gilt: $v > 42{.}1\mathrm{km/s}$
Dann würde sich der Körper auf einer Hyperbelbahn aus dem Sonnensystem entfernen.

12. Beispiel zur Bahnform bei Erdabstand

Ein Objekt befindet sich bei: $r = 1\mathrm{AE}$
Fall 1
$v = 30\mathrm{km/s}$
Da: $30 < 42{.}1$
gilt: $E < 0$
Die Bahn ist elliptisch.
Fall 2
$v = 42{.}1\mathrm{km/s}$
Da: $v = v_\mathrm{esc}$
gilt: $E = 0$
Die Bahn ist parabolisch.
Fall 3
$v = 50\mathrm{km/s}$
Da: $50 > 42{.}1$
gilt: $E > 0$
Die Bahn ist hyperbolisch.

13. Schwerpunkt von Sonne und Erde

Sonne und Erde kreisen nicht exakt so, dass die Sonne völlig unbeweglich ist.
Beide kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt.
Der Abstand des Schwerpunkts vom Sonnenzentrum ist näherungsweise: $r_S = r \dfrac{M_E}{M_S + M_E}$
Einsetzen:
$r_S = 1{.}496 \cdot 10^{11}\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{1{.}989 \cdot 10^{30} + 5{.}972 \cdot 10^{24}}$
Da $M_E \ll M_S$: $r_S \approx 1{.}496 \cdot 10^{11}\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{1{.}989 \cdot 10^{30}}$
$r_S \approx 4{.}49 \cdot 10^5\mathrm{m}$
$r_S \approx 449\mathrm{km}$
Der gemeinsame Schwerpunkt liegt also nur etwa $449\mathrm{km}$ vom Sonnenzentrum entfernt und damit tief innerhalb der Sonne.

14. Sonnengezeiten auf der Erde

Die Sonne verursacht Gezeiten, weil ihre Gravitation auf der sonnenzugewandten Erdseite etwas stärker ist als auf der sonnenabgewandten Seite.
Die Gezeitenwirkung ist näherungsweise proportional zu: $\dfrac{M}{r^3}$
Vergleich Sonne-Mond: $\dfrac{\text{Mondgezeiten}}{\text{Sonnengezeiten}} = \dfrac{M_M/r_M^3}{M_S/r_S^3}$
Mit: $M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22}\mathrm{kg}$
$r_M = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$r_S = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
ergibt sich: $\dfrac{\text{Mondgezeiten}}{\text{Sonnengezeiten}} \approx 2{.}2$
Der Mond erzeugt also stärkere Gezeiten als die Sonne.
Trotzdem ist die Sonne wichtig: Bei Neumond und Vollmond wirken Sonnen- und Mondgezeiten zusammen. Dann entstehen Springtiden.

15. Zusammenfassung

Im System Sonne-Erde gilt:
- Die Sonne zieht die Erde mit ungefähr $F_G \approx 3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$ an.
- Die Erde bewegt sich mit ungefähr $v \approx 29{.}8\mathrm{km/s}$ um die Sonne.
- Die Umlaufzeit beträgt: $T \approx 365{.}25\mathrm{d}$
- Die Erdbahn ist eine schwach exzentrische Ellipse: $e \approx 0{.}0167$
- Die Entfernung schwankt zwischen: $r_P \approx 147{.}1$ Millionen Kilometer und $r_A \approx 152{.}1$ Millionen Kilometer.
- Die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnenfeld bei Erdabstand beträgt: $v_\mathrm{esc} \approx 42{.}1\mathrm{km/s}$
- Damit ist die Erde eindeutig gravitativ an die Sonne gebunden.