Gravitation im System Erde-Mond

Das System Erde-Mond ist ein gravitativ gebundenes Zweikörpersystem.
Die Erde zieht den Mond an, und der Mond zieht die Erde mit gleich großer Gegenkraft an.
Die wichtigste Gleichung ist: $F_G = G \dfrac{M_E M_M}{r^2}$
mit: $G = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
$M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22}\mathrm{kg}$
$r = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$

1. Gravitationskraft zwischen Erde und Mond

$F_G = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22}}{(3{.}844 \cdot 10^8)^2}$
Zähler: $5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22} \approx 4{.}388 \cdot 10^{47}$
Mit $G$: $6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 4{.}388 \cdot 10^{47} \approx 2{.}928 \cdot 10^{37}$
Nenner: $(3{.}844 \cdot 10^8)^2 \approx 1{.}477 \cdot 10^{17}$
Also: $F_G \approx \dfrac{2{.}928 \cdot 10^{37}}{1{.}477 \cdot 10^{17}}$
$F_G \approx 1{.}98 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
Erde und Mond ziehen sich also mit ungefähr $1{.}98 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$ gegenseitig an.

2. Warum fällt der Mond nicht auf die Erde?

Der Mond fällt ständig zur Erde, besitzt aber eine seitliche Geschwindigkeit. Dadurch verfehlt er die Erde immer wieder.
Für eine näherungsweise Kreisbahn gilt: $F_G = F_Z$
$G \dfrac{M_E M_M}{r^2} = M_M \dfrac{v^2}{r}$
Die Mondmasse kürzt sich heraus: $G \dfrac{M_E}{r^2} = \dfrac{v^2}{r}$
$v = \sqrt{\dfrac{GM_E}{r}}$
Einsetzen: $v = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{3{.}844 \cdot 10^8}}$
$v \approx 1018\mathrm{m/s}$
$v \approx 1{.}02\mathrm{km/s}$
Der Mond bewegt sich also mit etwa $1{.}02\mathrm{km/s}$ um die Erde.

3. Umlaufzeit des Mondes

Für eine Kreisbahn gilt: $T = \dfrac{2\pi r}{v}$
$T = \dfrac{2\pi \cdot 3{.}844 \cdot 10^8}{1018}$
$T \approx 2{.}37 \cdot 10^6\mathrm{s}$
In Tagen: $T = \dfrac{2{.}37 \cdot 10^6}{86400}$
$T \approx 27{.}4\mathrm{d}$
Das ist ungefähr die siderische Umlaufzeit des Mondes: $T \approx 27{.}3\mathrm{d}$

4. Beschleunigung des Mondes zur Erde

Die Gravitationsbeschleunigung der Erde am Ort des Mondes ist: $g_M = G \dfrac{M_E}{r^2}$
Einsetzen: $g_M = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{(3{.}844 \cdot 10^8)^2}\mathrm{m/s^2}$
$g_M \approx 2{.}70 \cdot 10^{-3}\mathrm{m/s^2}$
Diese Beschleunigung ist klein, aber sie reicht aus, um die Mondbahn zu krümmen.
Vergleich mit der Erdoberfläche: $g_E = 9{.}81\mathrm{m/s^2}$
$\dfrac{g_E}{g_M} = \dfrac{9{.}81}{2{.}70 \cdot 10^{-3}}$
$\dfrac{g_E}{g_M} \approx 3630$
Die Erdanziehung ist an der Erdoberfläche also etwa $3630$-mal stärker als am Ort des Mondes.

5. Die Mondbahn ist eine Ellipse

Die Mondbahn ist keine perfekte Kreisbahn, sondern eine Ellipse.
Näherungswerte:
- mittlere Entfernung: $a \approx 384400\mathrm{km}$
- Perigäum, erdnächster Punkt: $r_P \approx 363300\mathrm{km}$
- Apogäum, erdfernster Punkt: $r_A \approx 405500\mathrm{km}$
Die Exzentrizität ist ungefähr: $e \approx 0{.}055$
Für eine Ellipse gilt: $r_P = a(1 - e)$ und $r_A = a(1 + e)$
Kontrolle:
$r_P = 384400(1 - 0{.}055)\mathrm{km}$
$r_P \approx 363300\mathrm{km}$
$r_A = 384400(1 + 0{.}055)\mathrm{km}$
$r_A \approx 405500\mathrm{km}$

6. Geschwindigkeit im Perigäum und Apogäum

Die Geschwindigkeit ist im Perigäum größer und im Apogäum kleiner.
Die Vis-Viva-Gleichung lautet: $v^2 = GM_E\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)$
Mit: $GM_E = 3{.}986 \cdot 10^{14}\mathrm{m^3/s^2}$
$a = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$

Perigäum

$r_P = 3{.}633 \cdot 10^8\mathrm{m}$
$v_P = \sqrt{3{.}986 \cdot 10^{14}\left(\dfrac{2}{3{.}633 \cdot 10^8} - \dfrac{1}{3{.}844 \cdot 10^8}\right)}\mathrm{m/s}$
$v_P \approx 1080\mathrm{m/s}$
$v_P \approx 1{.}08\mathrm{km/s}$

Apogäum

$r_A = 4{.}055 \cdot 10^8\mathrm{m}$
$v_A = \sqrt{3{.}986 \cdot 10^{14}\left(\dfrac{2}{4{.}055 \cdot 10^8} - \dfrac{1}{3{.}844 \cdot 10^8}\right)}\mathrm{m/s}$
$v_A \approx 970\mathrm{m/s}$
$v_A \approx 0{.}97\mathrm{km/s}$
Der Mond ist im erdnächsten Punkt also schneller als im erdfernsten Punkt.

7. Erde und Mond kreisen um den gemeinsamen Schwerpunkt

Erde und Mond drehen sich nicht so, dass die Erde völlig stillsteht.
Beide kreisen um den gemeinsamen Schwerpunkt: das Baryzentrum.
Der Abstand des Schwerpunkts vom Erdmittelpunkt ist: $r_E = r \dfrac{M_M}{M_E + M_M}$
Einsetzen: $r_E = 3{.}844 \cdot 10^8 \dfrac{7{.}348 \cdot 10^{22}}{5{.}972 \cdot 10^{24} + 7{.}348 \cdot 10^{22}}\mathrm{m}$
$r_E \approx 4{.}67 \cdot 10^6\mathrm{m}$
$r_E \approx 4670\mathrm{km}$
Der Erdradius ist: $R_E \approx 6371\mathrm{km}$
Der gemeinsame Schwerpunkt liegt also innerhalb der Erde, aber nicht im Erdmittelpunkt.

8. Warum entstehen Gezeiten?

Der Mond zieht die mondnahe Seite der Erde stärker an als das Erdzentrum.
Die mondferne Seite wird etwas schwächer angezogen. Dadurch entstehen Gezeitenkräfte.
Die Gezeitenwirkung ist näherungsweise proportional zu: $a_\mathrm{Gezeit} \sim \dfrac{2GM_M R_E}{r^3}$
Einsetzen: $a_\mathrm{Gezeit} \approx \dfrac{2 \cdot 6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22} \cdot 6{.}371 \cdot 10^6}{(3{.}844 \cdot 10^8)^3}\mathrm{m/s^2}$
$a_\mathrm{Gezeit} \approx 1{.}1 \cdot 10^{-6}\mathrm{m/s^2}$
Das ist sehr klein gegenüber: $g_E = 9{.}81\mathrm{m/s^2}$
Aber über die ganze Erde verteilt reicht es aus, um Ozeane messbar zu verformen.

9. Vergleich: Mondgezeiten und Sonnengezeiten

Die Gezeitenwirkung skaliert mit: $\dfrac{M}{r^3}$
Für den Mond: $M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22}\mathrm{kg}$
$r_M = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$
Für die Sonne: $M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$r_S = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Vergleich:
$\dfrac{\text{Mondgezeiten}}{\text{Sonnengezeiten}} = \dfrac{M_M/r_M^3}{M_S/r_S^3}$
$\dfrac{\text{Mondgezeiten}}{\text{Sonnengezeiten}} = \dfrac{M_M r_S^3}{M_S r_M^3}$
Einsetzen: $\dfrac{\text{Mondgezeiten}}{\text{Sonnengezeiten}} \approx 2{.}2$
Der Mond erzeugt also ungefähr $2{.}2$-mal stärkere Gezeiten als die Sonne.

10. Gebundene Energie des Mondes

Die Gesamtenergie einer elliptischen Bahn ist: $E = -G\dfrac{M_E M_M}{2a}$
Einsetzen: $E = -6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22}}{2 \cdot 3{.}844 \cdot 10^8}\mathrm{J}$
$E \approx -3{.}81 \cdot 10^{28}\mathrm{J}$
Das negative Vorzeichen zeigt: Der Mond ist gravitativ an die Erde gebunden.

11. Fluchtgeschwindigkeit am Ort des Mondes

Die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Erdgravitationsfeld im Abstand des Mondes ist: $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM_E}{r}}$
Einsetzen: $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 3{.}986 \cdot 10^{14}}{3{.}844 \cdot 10^8}}\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{esc} \approx 1440\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{esc} \approx 1{.}44\mathrm{km/s}$
Die Mondgeschwindigkeit ist ungefähr: $v_M \approx 1{.}02\mathrm{km/s}$
Da gilt: $v_M < v_\mathrm{esc}$ ist die Mondbahn gebunden.

12. Ellipse, Parabel und Hyperbel im System Erde-Mond

Die Bahnform hängt von der Gesamtenergie ab: $E = \dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{M_E m}{r}$
Ellipse
Wenn: $E < 0$ ist die Bahn gebunden.
Das gilt für den Mond.
Parabel
Wenn: $E = 0$ besitzt der Körper genau Fluchtgeschwindigkeit: $v = v_\mathrm{esc}$
Am Ort des Mondes wäre das: $v \approx 1{.}44\mathrm{km/s}$
Hyperbel
Wenn: $E > 0$ dann gilt: $v > v_\mathrm{esc}$
Dann verlässt der Körper das Erdgravitationsfeld auf einer hyperbolischen Bahn.

13. Beispiel zur Bahnform am Mondabstand

Ein Objekt befindet sich im Abstand: $r = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$ von der Erde.
Fall 1
$v = 1{.}02\mathrm{km/s}$
Das ist ungefähr die Mondgeschwindigkeit.
Da: $v < 1{.}44\mathrm{km/s}$ ist die Bahn gebunden, also eine Ellipse.
Fall 2
$v = 1{.}44\mathrm{km/s}$
Da: $v = v_\mathrm{esc}$ ist die Bahn eine Parabel.
Fall 3
$v = 1{.}70\mathrm{km/s}$
Da: $v > v_\mathrm{esc}$ ist die Bahn eine Hyperbel.

14. Warum zeigt der Mond uns fast immer dieselbe Seite?

Der Mond ist durch Gezeitenkräfte rotationsgebunden.
Das bedeutet: Seine Rotationsdauer ist gleich seiner Umlaufzeit. $T_\mathrm{Rotation} = T_\mathrm{Umlauf}$
Beide betragen ungefähr: $27{.}3\mathrm{d}$
Deshalb zeigt der Mond der Erde fast immer dieselbe Seite.

15. Warum entfernt sich der Mond langsam von der Erde?

Durch Gezeitenreibung wird Drehimpuls von der Erdrotation auf die Mondbahn übertragen.
Folgen:
- Die Erdrotation wird langsam gebremst.
- Der Mond gewinnt Bahndrehimpuls.
- Der Mond entfernt sich langsam von der Erde.
- Die Entfernung wächst um ungefähr: $3{.}8\mathrm{cm/a}$
Das ist ein langfristiger Effekt der Gezeitenwechselwirkung.

16. Zusammenfassung

Im System Erde-Mond gilt:
- Die Gravitationskraft beträgt ungefähr: $F_G \approx 1{.}98 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
- Die mittlere Mondgeschwindigkeit beträgt: $v_M \approx 1{.}02\mathrm{km/s}$
- Die Umlaufzeit beträgt: $T \approx 27{.}3\mathrm{d}$
- Die Mondbahn ist eine Ellipse mit: $e \approx 0{.}055$
- Der Mond bewegt sich im Perigäum schneller: $v_P \approx 1{.}08\mathrm{km/s}$
- und im Apogäum langsamer: $v_A \approx 0{.}97\mathrm{km/s}$
- Der gemeinsame Schwerpunkt liegt etwa: $4670\mathrm{km}$ vom Erdmittelpunkt entfernt und damit innerhalb der Erde.
Die Fluchtgeschwindigkeit am Mondabstand beträgt: $v_\mathrm{esc} \approx 1{.}44\mathrm{km/s}$
Da die Mondgeschwindigkeit kleiner ist, bleibt der Mond gravitativ an die Erde gebunden.