Gravitation im Dreikörpersystem Sonne-Erde-Mond

Das System Sonne-Erde-Mond ist ein gravitatives Dreikörpersystem.
Alle drei Körper ziehen sich gegenseitig an: $F = G \dfrac{m_1m_2}{r^2}$
mit $G = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$
Wichtige Werte:
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
$M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22}\mathrm{kg}$
$r_{SE} = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$r_{EM} = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$

1. Die drei Gravitationskräfte

Sonne-Erde

$F_{SE} = G \dfrac{M_SM_E}{r_{SE}^2}$
$F_{SE} = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{(1{.}496 \cdot 10^{11})^2}\mathrm{N}$
$F_{SE} \approx 3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$
Die Sonne zieht die Erde mit etwa $3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$ an.

Erde-Mond

$F_{EM} = G \dfrac{M_EM_M}{r_{EM}^2}$
$F_{EM} = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22}}{(3{.}844 \cdot 10^8)^2}\mathrm{N}$
$F_{EM} \approx 1{.}98 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
Die Erde zieht den Mond mit etwa $1{.}98 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$ an.

Sonne-Mond

Der Mond ist ungefähr genauso weit von der Sonne entfernt wie die Erde. Näherungsweise gilt:
$r_{SM} \approx r_{SE} = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$F_{SM} = G \dfrac{M_SM_M}{r_{SM}^2}$
$F_{SM} = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22}}{(1{.}496 \cdot 10^{11})^2}\mathrm{N}$
$F_{SM} \approx 4{.}36 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
Die Sonne zieht den Mond also mit etwa $4{.}36 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$ an.

2. Vergleich der Kräfte mit Wirkung auf den Mond

Auf den Mond wirken besonders wichtig:
Erde auf Mond: $F_{EM} \approx 1{.}98 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
Sonne auf Mond: $F_{SM} \approx 4{.}36 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
Vergleich:
$\dfrac{F_{SM}}{F_{EM}} = \dfrac{4{.}36 \cdot 10^{20}}{1{.}98 \cdot 10^{20}}$
$\dfrac{F_{SM}}{F_{EM}} \approx 2{.}2$
Die Sonne zieht den Mond also stärker an als die Erde.
Wichtig: Trotzdem bleibt der Mond an die Erde gebunden, weil Erde und Mond gemeinsam um die Sonne fallen.
Entscheidend ist nicht nur die absolute Sonnenkraft, sondern die Differenz der Sonnenkraft auf Erde und Mond.
Diese Differenz verursacht Störungen und Gezeiten.

3. Gemeinsamer Schwerpunkt von Erde und Mond

Erde und Mond kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, das Baryzentrum.
Der Abstand des Baryzentrums vom Erdmittelpunkt ist: $r_B = r_{EM}\dfrac{M_M}{M_E + M_M}$ Einsetzen:
$r_B = 3{.}844 \cdot 10^8 \dfrac{7{.}348 \cdot 10^{22}}{5{.}972 \cdot 10^{24} + 7{.}348 \cdot 10^{22}}\mathrm{m}$
$r_B \approx 4{.}67 \cdot 10^6\mathrm{m}$
$r_B \approx 4670\mathrm{km}$
Der Erdradius ist: $R_E \approx 6371\mathrm{km}$
Der Schwerpunkt liegt also innerhalb der Erde, aber deutlich ausserhalb des Erdmittelpunktes.

4. Erde und Mond bewegen sich gemeinsam um die Sonne

Das Baryzentrum des Erde-Mond-Systems umläuft die Sonne näherungsweise wie ein einzelner Körper.
Für die Bahngeschwindigkeit um die Sonne gilt: $v = \sqrt{\dfrac{GM_S}{r_{SE}}}$
$v = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}{1{.}496 \cdot 10^{11}}}\mathrm{m/s}$
$v \approx 29780\mathrm{m/s}$
$v \approx 29{.}8\mathrm{km/s}$
Erde und Mond bewegen sich also gemeinsam mit etwa $29{.}8\mathrm{km/s}$ um die Sonne.

5. Mondgeschwindigkeit relativ zur Erde

Für die Mondbewegung um die Erde gilt näherungsweise: $v_M = \sqrt{\dfrac{GM_E}{r_{EM}}}$
$v_M = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{3{.}844 \cdot 10^8}}\mathrm{m/s}$
$v_M \approx 1018\mathrm{m/s}$
$v_M \approx 1{.}02\mathrm{km/s}$
Der Mond bewegt sich also relativ zur Erde mit etwa $1{.}02\mathrm{km/s}$.

6. Mondbahn um die Sonne

Der Mond bewegt sich nicht einfach auf einer kleinen Kreisbahn um die Erde, während die Erde um die Sonne läuft.
Aus Sicht der Sonne beschreibt der Mond eine leicht gewellte Bahn um die Sonne.
Seine Geschwindigkeit um die Sonne ist ungefähr:
Bei Vollmond, wenn der Mond aussen auf der Erdbahn steht: $v \approx 29{.}8\mathrm{km/s} + 1{.}02\mathrm{km/s}$
$v \approx 30{.}8\mathrm{km/s}$ Bei Neumond, wenn der Mond innen auf der Erdbahn steht: $v \approx 29{.}8\mathrm{km/s} - 1{.}02\mathrm{km/s}$
$v \approx 28{.}8\mathrm{km/s}$
Die Mondbahn um die Sonne ist dabei immer zur Sonne hin gekrümmt. Sie bildet keine Schleifen, weil die gemeinsame Bahngeschwindigkeit um die Sonne viel grösser ist als die Mondgeschwindigkeit um die Erde.

7. Umlaufzeit des Mondes

Die siderische Umlaufzeit des Mondes um die Erde ist: $T_M \approx 27{.}3\mathrm{d}$
Näherungsweise aus Kreisbahn: $T = \dfrac{2\pi r}{v}$
$T = \dfrac{2\pi \cdot 3{.}844 \cdot 10^8}{1018}\mathrm{s}$
$T \approx 2{.}37 \cdot 10^6\mathrm{s}$
Umrechnung: $T = \dfrac{2{.}37 \cdot 10^6}{86400}\mathrm{d}$
$T \approx 27{.}4\mathrm{d}$
Das passt gut zum beobachteten Wert.

8. Warum dauert der Mondmonat etwa $29{.}5$ Tage?

Der siderische Monat ist die Umlaufzeit relativ zu den Sternen: $T_\mathrm{sid} \approx 27{.}3\mathrm{d}$
Der synodische Monat ist die Zeit von Neumond zu Neumond: $T_\mathrm{syn} \approx 29{.}5\mathrm{d}$
Der Unterschied entsteht, weil sich die Erde während eines Mondumlaufs weiter um die Sonne bewegt.
Es gilt näherungsweise: $\dfrac{1}{T_\mathrm{syn}} = \dfrac{1}{T_\mathrm{sid}} - \dfrac{1}{T_E}$
mit $T_E = 365{.}25\mathrm{d}$
Einsetzen: $\dfrac{1}{T_\mathrm{syn}} = \dfrac{1}{27{.}3d} - \dfrac{1}{365{.}25d}$
$\dfrac{1}{T_\mathrm{syn}} \approx 0{.}03663\mathrm{/d} - 0{.}00274\mathrm{/d}$
$\dfrac{1}{T_\mathrm{syn}} \approx 0{.}03389\mathrm{/d}$
$T_\mathrm{syn} \approx 29{.}5\mathrm{d}$
Deshalb vergehen von Neumond zu Neumond etwa $29{.}5$ Tage.

9. Die Hill-Sphäre der Erde

Die Hill-Sphäre beschreibt den Bereich, in dem die Erde Monde stabil halten kann: $r_H \approx a \sqrt[3]{\dfrac{M_E}{3M_S}}$
mit $a = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Einsetzen: $r_H \approx 1{.}496 \cdot 10^{11}\sqrt[3]{\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{3 \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}}$
$r_H \approx 1{.}50 \cdot 10^9\mathrm{m}$
$r_H \approx 1{.}50 \cdot 10^6\mathrm{km}$
Der Mondabstand ist: $r_{EM} = 384400\mathrm{km}$
Vergleich: $\dfrac{r_{EM}}{r_H} = \dfrac{384400}{1500000}$
$\dfrac{r_{EM}}{r_H} \approx 0{.}256$
Der Mond liegt also deutlich innerhalb der Hill-Sphäre der Erde.
Deshalb kann er trotz starker Sonnenanziehung an die Erde gebunden bleiben.

10. Gezeiten durch Mond und Sonne

Gezeiten entstehen durch Unterschiede der Gravitationskraft über den Erddurchmesser hinweg.
Die Gezeitenbeschleunigung durch einen Körper der Masse $M$ im Abstand $r$ ist näherungsweise:
$a_\mathrm{Gezeit} \approx \dfrac{2GMR_E}{r^3}$

Mondgezeiten

$M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22}\mathrm{kg}$
$r_{EM} = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$
$R_E = 6{.}371 \cdot 10^6\mathrm{m}$
$a_{\mathrm{Gezeit},M} \approx \dfrac{2 \cdot 6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22} \cdot 6{.}371 \cdot 10^6}{(3{.}844 \cdot 10^8)^3}\mathrm{m/s^2}$
$a_{\mathrm{Gezeit},M} \approx 1{.}1 \cdot 10^{-6}\mathrm{m/s^2}$

Sonnengezeiten

$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$r_{SE} = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$a_{\mathrm{Gezeit},S} \approx \dfrac{2 \cdot 6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 6{.}371 \cdot 10^6}{(1{.}496 \cdot 10^{11})^3}\mathrm{m/s^2}$
$a_{\mathrm{Gezeit},S} \approx 5{.}0 \cdot 10^{-7}\mathrm{m/s^2}$

Vergleich:

$\dfrac{a_{\mathrm{Gezeit},M}}{a_{\mathrm{Gezeit},S}} \approx \dfrac{1{.}1 \cdot 10^{-6}}{5{.}0 \cdot 10^{-7}}$
$\dfrac{a_{\mathrm{Gezeit},M}}{a_{\mathrm{Gezeit},S}} \approx 2{.}2$
Der Mond verursacht also etwa $2{.}2$-mal stärkere Gezeiten als die Sonne.

11. Springtide und Nipptide

Springtide

Bei Neumond und Vollmond stehen Sonne, Erde und Mond ungefähr auf einer Linie.
Dann addieren sich Mond- und Sonnengezeiten.
$a_\mathrm{Spring} \approx a_{\mathrm{Gezeit},M} + a_{\mathrm{Gezeit},S}$
$a_\mathrm{Spring} \approx 1{.}1 \cdot 10^{-6}\mathrm{m/s^2} + 5{.}0 \cdot 10^{-7}\mathrm{m/s^2}$
$a_\mathrm{Spring} \approx 1{.}6 \cdot 10^{-6}\mathrm{m/s^2}$
Dann sind Ebbe und Flut besonders stark.

Nipptide

Bei Halbmond stehen Sonne und Mond ungefähr im rechten Winkel.
Dann wirken die Gezeiten teilweise gegeneinander.
$a_\mathrm{Nipp} \approx a_{\mathrm{Gezeit},M} - a_{\mathrm{Gezeit},S}$
$a_\mathrm{Nipp} \approx 1{.}1 \cdot 10^{-6}\mathrm{m/s^2} - 5{.}0 \cdot 10^{-7}\mathrm{m/s^2}$
$a_\mathrm{Nipp} \approx 6{.}0 \cdot 10^{-7}\mathrm{m/s^2}$
Dann sind Ebbe und Flut schwächer.

12. Vergleichs Zweikörpersystem - Dreikörpersystem

Im Zweikörpersystem, zum Beispiel Erde-Mond ohne Sonne, wäre die Bahn exakt ein Kegelschnitt:
- Ellipse
- Parabel
- Hyperbel
Im Dreikörpersystem gibt es keine allgemeine einfache geschlossene Lösung. Die Sonne stört die Mondbahn ständig.
Die Mondbahn ist deshalb keine perfekte Ellipse. Sie zeigt unter anderem:
- Änderung der Bahnebene
- Drehung der Apsidenlinie
- Schwankung der Exzentrizität
- unterschiedliche Mondentfernungen
- Finsternisperioden

13. Ellipse, Parabel und Hyperbel im Dreikörpersystem

Für ein ideales Zweikörpersystem gilt: $E = \dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{Mm}{r}$

Ellipse $E < 0$

Der Körper ist gebunden.
Beispiele im Dreikörpersystem:
- Erde um Sonne
- Mond um Erde
- Mond zusammen mit Erde um Sonne

Parabel $E = 0$

Der Körper besitzt genau Fluchtgeschwindigkeit.
Beispiel:
Ein Objekt am Mondabstand von der Erde hätte eine parabolische Bahn relativ zur Erde bei:
- $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM_E}{r_{EM}}}$
- $v_\mathrm{esc} \approx 1{.}44\mathrm{km/s}$

Hyperbel $E > 0$

Der Körper ist ungebunden.
Beispiele:
- Raumsonden nach Vorbeiflug an Erde oder Mond
- interstellare Objekte relativ zur Sonne
- Objekte, die aus dem Erde-Mond-System entkommen
Im Dreikörpersystem kann ein Körper durch Wechselwirkung mit einem dritten Körper Energie gewinnen oder verlieren.
Dadurch kann aus einer Ellipse eine Hyperbel werden oder umgekehrt.

14. Beispiel: Flucht aus dem Erde-Mond-System

Am Mondabstand beträgt die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Erdgravitationsfeld: $v_\mathrm{esc,E} = \sqrt{\dfrac{2GM_E}{r_{EM}}}$
$v_\mathrm{esc,E} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 3{.}986 \cdot 10^{14}}{3{.}844 \cdot 10^8}}$
$v_\mathrm{esc,E} \approx 1440\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{esc,E} \approx 1{.}44\mathrm{km/s}$
Die Mondgeschwindigkeit beträgt nur: $v_M \approx 1{.}02\mathrm{km/s}$
Also: $v_M < v_\mathrm{esc,E}$
Der Mond bleibt relativ zur Erde gebunden.
Wenn ein Objekt am Mondabstand aber schneller als $1{.}44\mathrm{km/s}$ relativ zur Erde ist, kann es aus dem Erdgravitationsfeld entkommen.

15. Beispiel: Flucht aus dem Sonnensystem bei Erdabstand

Die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnenfeld bei Erdabstand ist: $v_\mathrm{esc,S} = \sqrt{\dfrac{2GM_S}{r_{SE}}}$
$v_\mathrm{esc,S} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{.}327 \cdot 10^{20}}{1{.}496 \cdot 10^{11}}}\mathrm{km/s}$
$v_\mathrm{esc,S} \approx 42{.}1\mathrm{km/s}$
Die Erde bewegt sich mit: $v_E \approx 29{.}8\mathrm{km/s}$
Zusätzliche Geschwindigkeit für eine Sonde hängt stark von Richtung und Startposition ab.
Ideal in Bewegungsrichtung der Erde braucht man auf Sonnenbahn betrachtet ungefähr:
$\Delta v \approx 42{.}1\mathrm{km/s} - 29{.}8\mathrm{km/s}$
$\Delta v \approx 12{.}3\mathrm{km/s}$
Das ist aber eine stark vereinfachte Rechnung, weil reale Starts zuerst das Erdgravitationsfeld verlassen müssen.

16. Lagrange-Punkte im System Sonne-Erde

In einem eingeschränkten Dreikörpersystem gibt es fünf besondere Punkte, an denen ein kleiner Körper relativ zu Sonne und Erde eine feste Position behalten kann.
Sie heissen Lagrange-Punkte: $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ , $L_4$ , $L_5$
Für Sonne-Erde liegen $L_1$ und $L_2$ etwa in einer Entfernung von: $r_L \approx a \sqrt[3]{\dfrac{M_E}{3M_S}}$
Das ist ungefähr der Hill-Radius: $r_L \approx 1{.}5 \cdot 10^6\mathrm{km}$
- $L_1$ liegt zwischen Sonne und Erde.
- $L_2$ liegt auf der sonnenabgewandten Seite der Erde.
Anwendungen:
- Sonnenbeobachtung bei $L_1$
- Weltraumteleskope bei $L_2$
- stabile Trojanerbahnen bei $L_4$ und $L_5$

17. Lagrange-Punkte im System Erde-Mond

Auch im Erde-Mond-System gibt es Lagrange-Punkte.
Die Punkte $L_4$ und $L_5$ liegen ungefähr auf der Mondbahn jeweils $60^\circ$ vor und hinter dem Mond.
Die Punkte $L_1$ und $L_2$ liegen näher am Mond auf der Verbindungslinie Erde-Mond.
Sie sind wichtig für:
- Mondmissionen
- Raumstationen
- Transferbahnen
- Satellitenbahnen

18. Energieaustausch im Dreikörpersystem

Im Zweikörperproblem bleibt die Energie eines Körpers relativ zur Zentralmasse konstant.
Im Dreikörpersystem kann Energie zwischen den Körpern übertragen werden.
Beispiele:
- Der Mond entfernt sich langsam von der Erde.
- Die Erdrotation wird durch Gezeitenreibung gebremst.
- Raumsonden können durch Swing-by-Manöver Energie gewinnen.
- Kometenbahnen können durch Planetenstörungen verändert werden.

19. Mondentfernung durch Gezeitenreibung

Der Mond entfernt sich langfristig von der Erde, weil Gezeitenreibung Drehimpuls von der Erdrotation auf die Mondbahn überträgt.
Der gemessene Wert beträgt ungefähr: $3{.}8\mathrm{cm/a}$
Das bedeutet:
In $1000$ Jahren: $\Delta r = 3{.}8\mathrm{cm/a} \cdot 1000\mathrm{a}$
$\Delta r = 3800\mathrm{cm}$
$\Delta r = 38\mathrm{m}$
In einer Million Jahren: $\Delta r = 3{.}8\mathrm{cm/a} \cdot 10^6\mathrm{a}$
$\Delta r = 3{.}8 \cdot 10^6\mathrm{cm}$
$\Delta r = 38\mathrm{km}$
Das ist astronomisch klein pro Jahr, aber über lange Zeiträume bedeutsam.

20. Zusammenfassung

Im Dreikörpersystem Sonne-Erde-Mond wirken alle drei Gravitationskräfte gleichzeitig.
Wichtige Kraftwerte: $F_{SE} \approx 3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$
$F_{EM} \approx 1{.}98 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
$F_{SM} \approx 4{.}36 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
Die Sonne zieht den Mond stärker an als die Erde, aber Erde und Mond fallen gemeinsam um die Sonne.
Der Mond bleibt an die Erde gebunden, weil er innerhalb der Hill-Sphäre liegt.
Wichtige Ergebnisse:
Mondgeschwindigkeit um Erde: $v_M \approx 1{.}02\mathrm{km/s}$
Erde-Mond-Geschwindigkeit um Sonne: $v_E \approx 29{.}8\mathrm{km/s}$
Mondumlaufzeit: $T_M \approx 27{.}3\mathrm{d}$
Zeit von Neumond zu Neumond: $T_\mathrm{syn} \approx 29{.}5\mathrm{d}$
Hill-Radius der Erde: $r_H \approx 1{.}5 \cdot 10^6\mathrm{km}$
Mondabstand: $r_{EM} \approx 384400\mathrm{km}$
Damit ist das System Sonne-Erde-Mond ein stabiles, aber dynamisch gestörtes Dreikörpersystem.
Die Bahnen sind näherungsweise Keplerbahnen, werden aber durch die dritte Masse ständig verändert.