Gravitation im Vielkörpersystem Sonne-Planeten-Monde
Ein Vielkörpersystem besteht aus vielen Massen, die sich alle gegenseitig gravitativ anziehen.
Im Sonnensystem sind das vor allem:
- Sonne
- Planeten
- Zwergplaneten
- Monde
- Asteroiden
- Kometen
- Raumsonden
- Staub und Kleinkörper
Die wichtigste Gleichung bleibt Newtons Gravitationsgesetz: $F_{ij} = G \dfrac{m_i m_j}{r_{ij}^2}$
Dabei ist $F_{ij}$ die Kraft zwischen Körper $i$ und Körper $j$.
Für viele Körper muss man alle Kräfte vektoriell addieren: $\vec{F}_i = \sum_{j \ne i} G \dfrac{m_i m_j}{r_{ij}^2}\vec{e}_{ij}$
Die Beschleunigung von Körper $i$ ist: $\vec{a}_i = \dfrac{\vec{F}_i}{m_i}$
Also: $\vec{a}_i = \sum_{j \ne i} G \dfrac{m_j}{r_{ij}^2}\vec{e}_{ij}$
Wichtig: Die eigene Masse $m_i$ kürzt sich heraus.
Die Bewegung eines Körpers hängt also von den anderen Massen und ihren Positionen ab.
1. Sonne als dominante Zentralmasse
Die Sonne enthält fast die gesamte Masse des Sonnensystems: $M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
Erde: $M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
Jupiter: $M_J = 1{.}898 \cdot 10^{27}\mathrm{kg}$
Vergleich Jupiter-Sonne:
$\dfrac{M_J}{M_S} = \dfrac{1{.}898 \cdot 10^{27}}{1{.}989 \cdot 10^{30}}$
$\dfrac{M_J}{M_S} \approx 9{.}55 \cdot 10^{-4}$
Jupiter hat also nur etwa $0{.}0955%$ der Sonnenmasse, ist aber trotzdem der mit Abstand massereichste Planet.
Vergleich Erde-Sonne:
$\dfrac{M_E}{M_S} = \dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{1{.}989 \cdot 10^{30}}$
$\dfrac{M_E}{M_S} \approx 3{.}00 \cdot 10^{-6}$
Die Erde hat also nur etwa $0{.}0003%$ der Sonnenmasse.
Deshalb sind Planetenbahnen näherungsweise Kepler-Ellipsen um die Sonne.
2. Gravitationskraft Sonne-Erde
Gegeben:
$G = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{\mathrm{N m^2}}{\mathrm{kg^2}}$
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
$r_{SE} = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Rechnung:
$F_{SE} = G \dfrac{M_S M_E}{r_{SE}^2}$
$F_{SE} = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 5{.}972 \cdot 10^{24}}{(1{.}496 \cdot 10^{11})^2}N$
$F_{SE} \approx 3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$
Diese Kraft hält die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne.
3. Gravitationskraft Sonne-Jupiter
Gegeben:
$M_J = 1{.}898 \cdot 10^{27}\mathrm{kg}$
$r_{SJ} = 7{.}785 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Rechnung:
$F_{SJ} = G \dfrac{M_S M_J}{r_{SJ}^2}$
$F_{SJ} = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{1{.}989 \cdot 10^{30} \cdot 1{.}898 \cdot 10^{27}}{(7{.}785 \cdot 10^{11})^2}N$
$F_{SJ} \approx 4{.}16 \cdot 10^{23}\mathrm{N}$
Die Kraft Sonne-Jupiter ist also deutlich grösser als die Kraft Sonne-Erde.
Vergleich:
$\dfrac{F_{SJ}}{F_{SE}} = \dfrac{4{.}16 \cdot 10^{23}}{3{.}54 \cdot 10^{22}}$
$\dfrac{F_{SJ}}{F_{SE}} \approx 11{.}8$
Obwohl Jupiter weiter entfernt ist, zieht die Sonne Jupiter wegen seiner grossen Masse stärker an als die Erde.
4. Planetenbahnen als Näherung: Keplerbahnen
Wenn man nur Sonne und einen Planeten betrachtet, ergibt sich näherungsweise eine Ellipsenbahn.
Für eine Ellipse gilt: $0 \le e < 1$
Die Umlaufzeit folgt aus dem dritten Keplerschen Gesetz: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM_S}a^3$
Für Vergleiche im Sonnensystem nutzt man oft: $T^2 = a^3$
wenn $T$ in Jahren und $a$ in Astronomischen Einheiten gemessen wird.
5. Beispiel: Umlaufzeit von Jupiter
Jupiter hat: $a_J = 5{.}204\mathrm{AE}$
Dann gilt: $T_J = \sqrt{a_J^3}$
$T_J = \sqrt{5{.}204^3}$
$T_J = \sqrt{140{.}9}$
$T_J \approx 11{.}9\mathrm{a}$
Jupiter benötigt also ungefähr $11{.}9$ Jahre für einen Umlauf um die Sonne.
6. Warum ist das Vielkörpersystem kompliziert?
Im Zweikörpersystem ist die Bahn exakt ein Kegelschnitt:
- Ellipse
- Parabel
- Hyperbel
Im Vielkörpersystem wirken zusätzliche Kräfte. Dadurch entstehen Störungen.
Ein Planet wird nicht nur von der Sonne angezogen, sondern auch von allen anderen Planeten:
$\vec{F}*\mathrm{Planet} = \vec{F}*\mathrm{Sonne} + \vec{F}*\mathrm{Jupiter} + \vec{F}*\mathrm{Saturn} + \dots$
Diese Zusatzkräfte sind meist klein, aber über lange Zeiträume wichtig.
Folgen:
- Bahnen sind keine perfekten Ellipsen
- Perihelien drehen sich langsam
- Exzentrizitäten ändern sich
- Bahnebenen kippen leicht
- Resonanzen entstehen
- Asteroidenbahnen können instabil werden
7. Beispiel: Jupiters Störung auf die Erde
Wir vergleichen die Sonnenkraft auf die Erde mit der Jupiterkraft auf die Erde.
Kraft Sonne-Erde: $F_{SE} \approx 3{.}54 \cdot 10^{22}\mathrm{N}$
Näherungsweise minimaler Abstand Erde-Jupiter bei Opposition: $r_{EJ} \approx 7{.}785 \cdot 10^{11} - 1{.}496 \cdot 10^{11}$
$r_{EJ} \approx 6{.}289 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Jupiterkraft auf Erde: $F_{EJ} = G \dfrac{M_E M_J}{r_{EJ}^2}$
$F_{EJ} = 6{.}674 \cdot 10^{-11} \dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24} \cdot 1{.}898 \cdot 10^{27}}{(6{.}289 \cdot 10^{11})^2}N$
$F_{EJ} \approx 1{.}91 \cdot 10^{18}\mathrm{N}$
Vergleich:
$\dfrac{F_{EJ}}{F_{SE}} = \dfrac{1{.}91 \cdot 10^{18}}{3{.}54 \cdot 10^{22}}$
$\dfrac{F_{EJ}}{F_{SE}} \approx 5{.}4 \cdot 10^{-5}$
Jupiters direkte Kraft auf die Erde beträgt also nur etwa $0{.}0054%$ der Sonnenkraft.
Trotzdem ist sie für langfristige Bahnstörungen messbar.
8. Schwerpunkt des Sonnensystems
Die Planeten ziehen auch die Sonne an.
Deshalb steht die Sonne nicht exakt im Schwerpunkt des Sonnensystems.
Der wichtigste Beitrag kommt von Jupiter.
Der Abstand des Sonne-Jupiter-Schwerpunkts vom Sonnenzentrum ist: $r_S = r_{SJ}\dfrac{M_J}{M_S + M_J}$
Einsetzen: $r_S = 7{.}785 \cdot 10^{11}\dfrac{1{.}898 \cdot 10^{27}}{1{.}989 \cdot 10^{30} + 1{.}898 \cdot 10^{27}}m$
$r_S \approx 7{.}42 \cdot 10^8\mathrm{m}$
$r_S \approx 742000\mathrm{km}$
Der Sonnenradius ist ungefähr: $R_S \approx 696000\mathrm{km}$
Der Schwerpunkt des Sonne-Jupiter-Systems liegt also knapp ausserhalb der Sonnenoberfläche.
Das zeigt: Auch die Sonne führt eine kleine Bewegung aus.
9. Monde als lokale Vielkörpersysteme
Monde bewegen sich meistens um Planeten, obwohl auch die Sonne auf sie wirkt.
Beispiel Erde-Mond: $F_{EM} \approx 1{.}98 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
Sonne-Mond: $F_{SM} \approx 4{.}36 \cdot 10^{20}\mathrm{N}$
Die Sonne zieht den Mond stärker an als die Erde.
Trotzdem bleibt der Mond an die Erde gebunden, weil Erde und Mond gemeinsam um die Sonne fallen.
Entscheidend ist die Hill-Sphäre.
10. Hill-Sphäre eines Planeten
Die Hill-Sphäre gibt näherungsweise den Bereich an, in dem ein Planet Monde dauerhaft halten kann:
$r_H \approx a \sqrt[3]{\dfrac{m}{3M_S}}$
Dabei ist:
$a$ Abstand des Planeten von der Sonne
$m$ Planetenmasse
$M_S$ Sonnenmasse
Beispiel: Hill-Sphäre der Erde
$a_E = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$m = M_E = 5{.}972 \cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
$M_S = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$r_H \approx 1{.}496 \cdot 10^{11}\sqrt[3]{\dfrac{5{.}972 \cdot 10^{24}}{3 \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}}m$
$r_H \approx 1{.}50 \cdot 10^9\mathrm{m}$
$r_H \approx 1{.}50 \cdot 10^6\mathrm{km}$
Mondabstand: $r_{EM} = 384400\mathrm{km}$
Vergleich:
$\dfrac{r_{EM}}{r_H} = \dfrac{384400}{1500000}$
$\dfrac{r_{EM}}{r_H} \approx 0{.}256$
Der Mond liegt deutlich innerhalb der Hill-Sphäre der Erde.
Beispiel: Hill-Sphäre von Jupiter
$a_J = 7{.}785 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$M_J = 1{.}898 \cdot 10^{27}\mathrm{kg}$
$r_H \approx 7{.}785 \cdot 10^{11}\sqrt[3]{\dfrac{1{.}898 \cdot 10^{27}}{3 \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}}}m$
$r_H \approx 5{.}32 \cdot 10^{10}\mathrm{m}$
$r_H \approx 53{.}2 \cdot 10^6\mathrm{km}$
Jupiters Hill-Sphäre ist sehr gross. Deshalb kann Jupiter viele Monde besitzen.
Beispiel: Io um Jupiter
Io ist einer der grossen Jupitermonde.
Näherungswerte: $M_J = 1{.}898 \cdot 10^{27}\mathrm{kg}$
$r_{JI} = 4{.}217 \cdot 10^8\mathrm{m}$
Für die Umlaufgeschwindigkeit: $v = \sqrt{\dfrac{GM_J}{r}}$
$v = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{.}898 \cdot 10^{27}}{4{.}217 \cdot 10^8}}m/s$
$v \approx 17340\mathrm{m/s}$
$v \approx 17{.}3\mathrm{km/s}$
Umlaufzeit: $T = \dfrac{2\pi r}{v}$
$T = \dfrac{2\pi \cdot 4{.}217 \cdot 10^8}{17340}s$
$T \approx 1{.}53 \cdot 10^5\mathrm{s}$
In Tagen: $T = \dfrac{1{.}53 \cdot 10^5}{86400}d$
$T \approx 1{.}77\mathrm{d}$
Io umläuft Jupiter also in etwa $1{.}77$ Tagen.
11. Resonanzen im Vielkörpersystem
Eine Resonanz entsteht, wenn Umlaufzeiten in einfachen Zahlenverhältnissen stehen.
Beispiel bei Jupitermonden: Io, Europa und Ganymed stehen ungefähr in einer $1:2:4$-Resonanz.
Das bedeutet: Wenn Ganymed einmal umläuft, umläuft Europa ungefähr zweimal und Io ungefähr viermal.
Mathematisch: $T_I : T_E : T_G \approx 1 : 2 : 4$
Diese Resonanz hält die Bahnen leicht elliptisch.
Dadurch wirken starke Gezeitenkräfte auf Io.
Die Folge ist intensiver Vulkanismus.
12. Gezeitenkräfte in Vielkörpersystemen
Gezeiten entstehen durch unterschiedliche Gravitationskräfte auf verschiedene Teile eines Körpers.
Die Gezeitenbeschleunigung ist näherungsweise: $a_\mathrm{Gezeit} \approx \dfrac{2GMR}{r^3}$
Dabei ist:
$M$ : die verursachende Masse
$R$ : der Radius des betroffenen Körpers
$r$ : der Abstand
Beispiel: Mondgezeiten auf der Erde
$M_M = 7{.}348 \cdot 10^{22}\mathrm{kg}$
$R_E = 6{.}371 \cdot 10^6\mathrm{m}$
$r_{EM} = 3{.}844 \cdot 10^8\mathrm{m}$
$a_\mathrm{Gezeit} \approx \dfrac{2 \cdot 6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{.}348 \cdot 10^{22} \cdot 6{.}371 \cdot 10^6}{(3{.}844 \cdot 10^8)^3}\mathrm{m/s^2}$
$a_\mathrm{Gezeit} \approx 1{.}1 \cdot 10^{-6}\mathrm{m/s^2}$
Das ist klein, reicht aber aus, um Ozeane messbar zu bewegen.
13. Roche-Grenze
Wenn ein Mond einem Planeten zu nahe kommt, können Gezeitenkräfte ihn zerreissen.
Die Roche-Grenze ist ungefähr: $r_R \approx 2{.}44 R_P \sqrt[3]{\dfrac{\rho_P}{\rho_M}}$
Dabei ist:
$R_P$ Planetenradius
$\rho_P$ Dichte des Planeten
$\rho_M$ Dichte des Mondes
Für ähnliche Dichten gilt näherungsweise: $r_R \approx 2{.}44 R_P$
Beispiel Saturn:
$R_Saturn \approx 5{.}82 \cdot 10^7\mathrm{m}$
$r_R \approx 2{.}44 \cdot 5{.}82 \cdot 10^7$
$r_R \approx 1{.}42 \cdot 10^8\mathrm{m}$
Viele Saturnringe liegen innerhalb oder nahe dieser Grössenordnung.
Dort kann Materie schwer zu einem grossen Mond zusammenklumpen.
14. Störungen im Asteroidengürtel
Zwischen Mars und Jupiter liegt der Asteroidengürtel.
Jupiter verursacht dort starke Bahnstörungen.
Besonders wichtig sind Resonanzen.
Beispiel: Eine $3:1$-Resonanz bedeutet: Ein Asteroid umläuft die Sonne dreimal, während Jupiter einmal umläuft.
Jupiterperiode: $T_J \approx 11{.}86\mathrm{a}$
Dann ist die Asteroidenperiode: $T_A = \dfrac{T_J}{3}$
$T_A \approx \dfrac{11{.}86}{3}a$
$T_A \approx 3{.}95\mathrm{a}$
Mit Keplers Gesetz: $T^2 = a^3$
$a = \sqrt[3]{T^2}$
$a = \sqrt[3]{3{.}95^2}$
$a = \sqrt[3]{15{.}6}$
$a \approx 2{.}50\mathrm{AE}$
Bei etwa $2{.}5\mathrm{AE}$ gibt es im Asteroidengürtel eine Kirkwood-Lücke, weil Jupiter dort Bahnen langfristig destabilisieren kann.
15. Lagrange-Punkte
In einem eingeschränkten Dreikörpersystem gibt es fünf Lagrange-Punkte.
Besonders wichtig sind $L_4$ und $L_5$.
Sie liegen ungefähr $60^\circ$ vor und hinter einem Planeten auf seiner Bahn.
Dort können kleine Körper relativ stabil bleiben.
Beispiele:
- Trojaner des Jupiter
- Trojaner der Erde
- Trojaner anderer Planeten
Jupiter besitzt besonders viele Trojaner, weil seine Gravitation stark ist und seine Bahn dynamisch günstige Stabilitätsbereiche besitzt.
16. Parabel- und Hyperbelbahnen im Vielkörpersystem
Im idealen Zweikörpersystem entscheidet die Gesamtenergie über die Bahnform: $E = \dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{Mm}{r}$
- Ellipse: $E < 0$
- Parabel: $E = 0$
- Hyperbel: $E > 0$
Im Vielkörpersystem kann ein Körper durch Begegnungen mit Planeten Energie gewinnen oder verlieren.
Dadurch kann sich die Bahnform ändern.
Beispiele:
- Ein Komet wird durch Jupiter aus einer Ellipse auf eine Hyperbel gestört.
- Eine Raumsonde gewinnt durch Swing-by Energie.
- Ein interstellares Objekt fliegt auf Hyperbelbahn durch das Sonnensystem.
- Ein Asteroid wird aus dem Hauptgürtel in eine erdnahe Bahn gestört.
17. Beispiel: Fluchtgeschwindigkeit bei Erdabstand von der Sonne
Bei $1\mathrm{AE}$ Abstand von der Sonne: $r = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
$GM_S = 1{.}327 \cdot 10^{20}\mathrm{m^3/s^2}$
$v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM_S}{r}}$
$v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{.}327 \cdot 10^{20}}{1{.}496 \cdot 10^{11}}}m/s$
$v_\mathrm{esc} \approx 42100\mathrm{m/s}$
$v_\mathrm{esc} \approx 42{.}1\mathrm{km/s}$
Die Erde bewegt sich mit: $v_E \approx 29{.}8\mathrm{km/s}$
Also ist die Erde klar gebunden: $v_E < v_\mathrm{esc}$
Ein Objekt mit $50\mathrm{km/s}$ relativ zur Sonne bei $1\mathrm{AE}$ hätte dagegen: $v > v_\mathrm{esc}$ und wäre auf einer Hyperbelbahn.
18. Swing-by-Manöver
Bei einem Swing-by nutzt eine Raumsonde die Bewegung eines Planeten.
Im Bezugssystem des Planeten fliegt die Sonde näherungsweise auf einer Hyperbelbahn vorbei.
Im Bezugssystem der Sonne kann sie Energie gewinnen oder verlieren.
Vereinfachtes Beispiel:
Erde bewegt sich um die Sonne mit: $v_E = 29{.}8\mathrm{km/s}$
Eine Sonde kommt der Erde entgegen und wird so abgelenkt, dass ihre Geschwindigkeit in Sonnenrichtung zunimmt.
Wenn ihre heliozentrische Geschwindigkeit von $v_1 = 35\mathrm{km/s}$ auf $v_2 = 40\mathrm{km/s}$ steigt,
ändert sich die spezifische kinetische Energie um: $\Delta \epsilon = \dfrac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
Mit $\mathrm{km/s}$: $\Delta \epsilon = \dfrac{1}{2}(40^2 - 35^2)\mathrm{km^2/s^2}$
$\Delta \epsilon = \dfrac{1}{2}(1600 - 1225)\mathrm{km^2/s^2}$
$\Delta \epsilon = 187{.}5\mathrm{km^2/s^2}$
Umrechnung: $187{.}5\mathrm{km^2/s^2} = 1{.}875 \cdot 10^8\mathrm{J/kg}$
Die Sonde gewinnt also pro Kilogramm etwa: $1{.}875 \cdot 10^8\mathrm{J/kg}$
Diese Energie zum Swing-by stammt nicht aus dem Nichts, sondern kommt aus der Bewegungsenergie des Planeten.
19. Langzeitstabilität des Sonnensystems
Das Sonnensystem ist über Milliarden Jahre weitgehend stabil, aber nicht exakt periodisch.
Grund:
- Es ist ein nichtlineares Vielkörpersystem.
- Kleine Störungen können sich über sehr lange Zeiten bemerkbar machen.
Trotzdem bleiben die grossen Planetenbahnen stabil, weil:
- die Sonne dominiert
- Planetenabstände gross sind
- Bahnen meist geringe Exzentrizitäten haben
- Resonanzen viele Bereiche stabilisieren oder leeren
- Drehimpuls und Energie des Gesamtsystems erhalten bleiben
Die Gesamtenergie des Systems ist: $E_\mathrm{ges} = \sum\limits_i \dfrac{1}{2} m_i v_i^2 - \sum\limits_{i < j}G \dfrac{m_i m_j}{r_{ij}}$
Der Gesamtdrehimpuls ist: $\vec{L}_\mathrm{ges} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i\vec{v}_i$
In einem abgeschlossenen System bleiben Gesamtenergie und Gesamtdrehimpuls erhalten.
20. Wichtige Ergebnisse zusammengefasst
Im Vielkörpersystem Sonne-Planeten-Monde gilt:
- Alle Körper ziehen sich gegenseitig an: $\vec{F}_i = \sum_{j \ne i} G \dfrac{m_i m_j}{r_{ij}^2}\vec{e}_{ij}$
- Die Sonne dominiert die Planetenbahnen.
- Planeten bewegen sich näherungsweise auf Ellipsen.
- Jupiter verursacht die stärksten planetaren Störungen.
- Monde bleiben innerhalb der Hill-Sphäre ihrer Planeten gebunden.
- Resonanzen können Bahnen stabilisieren oder destabilisieren.
- Gezeiten können Monde erwärmen, Rotationen bremsen und Bahnen verändern.
- Asteroidenlücken entstehen durch Resonanzen mit Jupiter.
- Raumsonden können durch Swing-by-Manöver Energie austauschen.
Im Gegensatz zum Zweikörpersystem gibt es im allgemeinen Vielkörpersystem keine einfache exakte geschlossene Lösung.
Deshalb werden reale Planetenbahnen numerisch berechnet.
Die wichtigsten Gleichungen sind:
- $F = G \dfrac{m_1m_2}{r^2}$
- $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}a^3$
- $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$
- $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$
- $r_H \approx a \sqrt[3]{\dfrac{m}{3M}}$
- $a_\mathrm{Gezeit} \approx \dfrac{2GMR}{r^3}$