Gravitation im Vielkörpersystem Kugelsternhaufen

Ein Kugelsternhaufen ist ein sehr dichtes gravitatives Vielkörpersystem aus ungefähr $10^4$ bis $10^6$ Sternen.
Die Sterne sind durch ihre gegenseitige Gravitation gebunden und bewegen sich gemeinsam um das Zentrum des Haufens und zugleich um das Zentrum ihrer Galaxie.

1. Grundgleichung: Gravitation zwischen allen Sternen

Für zwei Sterne gilt: $F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$
In einem Kugelsternhaufen wirkt aber nicht nur eine Kraft, sondern jeder Stern wird von allen anderen Sternen angezogen: $\vec{F}_i = \sum\limits_{j \ne i} G\dfrac{m_i m_j}{r_{ij}^2}\vec{e}_{ij}$
Die Beschleunigung von Stern $i$ ist: $\vec{a}_i = \sum\limits_{j \ne i} G\dfrac{m_j}{r_{ij}^2}\vec{e}_{ij}$
Das ist ein echtes Vielkörperproblem. Für viele Sterne gibt es keine einfache geschlossene Lösung.
Man verwendet daher statistische Modelle und Computersimulationen.

2. Typische Größen eines Kugelsternhaufens

Nehmen wir als Beispiel:
$N = 10^5$
$m_\ast = 0{.}5M_\odot$
$M = N m_\ast$
$M_\odot = 1{.}989 \cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
Dann: $m_\ast = 0{.}5 \cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}$
$m_\ast \approx 9{.}945 \cdot 10^{29}\mathrm{kg}$
Gesamtmasse: $M = 10^5 \cdot 9{.}945 \cdot 10^{29}$
$M \approx 9{.}945 \cdot 10^{34}\mathrm{kg}$
Also ungefähr: $M \approx 5 \cdot 10^4 M_\odot$
Typischer Radius: $R = 10\mathrm{pc}$
Mit: $1\mathrm{pc} = 3{.}086 \cdot 10^{16}\mathrm{m}$
folgt: $R = 3{.}086 \cdot 10^{17}\mathrm{m}$

3. Gravitationsfeld im Kugelsternhaufen

Näherungsweise kann man den Haufen als kugelförmige Masse betrachten.
Am Rand gilt ungefähr: $g = G\dfrac{M}{R^2}$
Einsetzen: $g = 6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{9{.}945 \cdot 10^{34}}{(3{.}086 \cdot 10^{17})^2}\mathrm{m/s^2}$
$g \approx 6{.}97 \cdot 10^{-11}\mathrm{m/s^2}$
Das ist extrem klein gegenüber der Erdgravitation: $g_E = 9{.}81\mathrm{m/s^2}$
Vergleich:
$\dfrac{g_E}{g} = \dfrac{9{.}81}{6{.}97 \cdot 10^{-11}}$
$\dfrac{g_E}{g} \approx 1{.}41 \cdot 10^{11}$
Die Erdgravitation an der Oberfläche ist also etwa $1{.}4 \cdot 10^{11}$-mal stärker.
Trotzdem hält die schwache Haufengravitation die Sterne zusammen, weil sie über riesige Entfernungen wirkt.

4. Geschwindigkeit der Sterne: Virialsatz

Ein Kugelsternhaufen ist näherungsweise im dynamischen Gleichgewicht.
Dafür gilt der Virialsatz: $2E_\mathrm{kin} + E_\mathrm{pot} = 0$
Also: $E_\mathrm{kin} = -\dfrac{1}{2}E_\mathrm{pot}$
Die typische Geschwindigkeit kann man abschätzen mit: $v \approx \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$
Einsetzen: $v = \sqrt{\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11} \cdot 9{.}945 \cdot 10^{34}}{3{.}086 \cdot 10^{17}}}\mathrm{m/s}$
$v \approx 4640\mathrm{m/s}$
$v \approx 4{.}6\mathrm{km/s}$
Typische Sternbewegungen in Kugelsternhaufen liegen also in der Größenordnung einiger $\mathrm{km/s}$.

5. Umlaufzeit eines Sterns im Haufen

Eine grobe Umlaufzeit am Rand ist: $T \approx \dfrac{2\pi R}{v}$
Einsetzen: $T = \dfrac{2\pi \cdot 3{.}086 \cdot 10^{17}}{4640}s$
$T \approx 4{.}18 \cdot 10^{14}\mathrm{s}$
Umrechnung in Jahre: $T = \dfrac{4{.}18 \cdot 10^{14}}{3{.}156 \cdot 10^7}a$
$T \approx 1{.}33 \cdot 10^7\mathrm{a}$
Ein Stern braucht also grob etwa $13$ Millionen Jahre für eine typische Bewegung durch den Haufen.

6. Fluchtgeschwindigkeit aus dem Haufen

Die Fluchtgeschwindigkeit am Rand ist näherungsweise: $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$
Da $v \approx \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$ gilt: $v_\mathrm{esc} \approx \sqrt{2}v$
Also: $v_\mathrm{esc} \approx 1{.}414 \cdot 4{.}6\mathrm{km/s}$
$v_\mathrm{esc} \approx 6{.}5\mathrm{km/s}$
Ein Stern mit deutlich mehr als etwa $6{.}5\mathrm{km/s}$ am Rand kann den Haufen verlassen.
Im Zentrum ist die Fluchtgeschwindigkeit größer, weil dort mehr Masse um den Stern herum wirkt.

7. Bindungsenergie des Kugelsternhaufens

Für eine grobe kugelförmige Massenverteilung gilt: $E_\mathrm{pot} \approx -\dfrac{3}{5}\dfrac{GM^2}{R}$
Einsetzen: $E_\mathrm{pot} \approx -\dfrac{3}{5}\dfrac{6{.}674 \cdot 10^{-11}(9{.}945 \cdot 10^{34})^2}{3{.}086 \cdot 10^{17}}J$
$E_\mathrm{pot} \approx -1{.}28 \cdot 10^{42}\mathrm{J}$
Nach dem Virialsatz: $E_\mathrm{kin} \approx 6{.}4 \cdot 10^{41}\mathrm{J}$
Gesamtenergie: $E_\mathrm{ges} = E_\mathrm{kin} + E_\mathrm{pot}$
$E_\mathrm{ges} \approx -6{.}4 \cdot 10^{41}\mathrm{J}$
Das negative Vorzeichen bedeutet: Der Kugelsternhaufen ist gravitativ gebunden.

8. Warum kollabiert der Haufen nicht sofort?

Obwohl alle Sterne einander anziehen, kollabiert der Haufen nicht sofort, weil die Sterne Bewegungsenergie besitzen.
Die Gravitation zieht nach innen.
Die Sternbewegungen wirken dynamisch dagegen.
Gleichgewicht: $2E_\mathrm{kin} + E_\mathrm{pot} = 0$
Ist die kinetische Energie zu klein, zieht sich der Haufen zusammen.
Ist sie zu groß, dehnt sich der Haufen aus oder Sterne entkommen.

9. Sternbegegnungen und Energieaustausch

In einem Kugelsternhaufen kommen Sterne einander relativ nahe.
Dabei ändern sie durch Gravitation gegenseitig ihre Bahnen.
Ein einzelner Stern folgt nicht einer festen Ellipse wie ein Planet um die Sonne.
Seine Bahn wird ständig durch viele kleine Begegnungen gestört.
Die Relaxationszeit beschreibt, wie lange es dauert, bis viele kleine Begegnungen die Bewegungen stark verändern:
$t_\mathrm{relax} \approx \dfrac{0{.}1N}{\ln N}t_\mathrm{cross}$
Die Kreuzungszeit ist: $t_\mathrm{cross} \approx \dfrac{R}{v}$
Mit: $R = 3{.}086 \cdot 10^{17}\mathrm{m}$ und $v = 4640\mathrm{m/s}$ folgt:
$t_\mathrm{cross} = \dfrac{3{.}086 \cdot 10^{17}}{4640}s$
$t_\mathrm{cross} \approx 6{.}65 \cdot 10^{13}\mathrm{s}$
In Jahren: $t_\mathrm{cross} \approx 2{.}11 \cdot 10^6\mathrm{a}$
Für: $N = 10^5$
$\ln N \approx 11{.}5$
folgt: $t_\mathrm{relax} \approx \dfrac{0{.}1 \cdot 10^5}{11{.}5} \cdot 2{.}11 \cdot 10^6\mathrm{a}$
$t_\mathrm{relax} \approx 1{.}84 \cdot 10^9\mathrm{a}$
Die Relaxationszeit beträgt also ungefähr $1{.}8$ Milliarden Jahre.
Da Kugelsternhaufen oft älter als $10$ Milliarden Jahre sind, hatten sie genug Zeit für starke innere Entwicklung.

10. Massensegregation

Durch viele Begegnungen tauschen Sterne Energie aus.
Schwere Sterne verlieren im Mittel Bewegungsenergie und sinken zum Zentrum.
Leichte Sterne gewinnen im Mittel Bewegungsenergie und wandern nach außen.
Dieser Effekt heißt Massensegregation.
Vereinfacht gilt im thermischen Gleichgewicht: $\dfrac{1}{2}m_1v_1^2 \approx \dfrac{1}{2}m_2v_2^2$
Also: $m_1v_1^2 \approx m_2v_2^2$
Daraus folgt: $\dfrac{v_1}{v_2} \approx \sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}}$
Beispiel:
$m_1 = 1{.}0M_\odot$
$m_2 = 0{.}25M_\odot$
Dann:
$\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{0{.}25}{1{.}0}}$
$\dfrac{v_1}{v_2} = 0{.}5$
Der schwere Stern bewegt sich im Mittel langsamer als der leichte Stern. Dadurch konzentrieren sich massereiche Sterne stärker im Zentrum.

11. Kernkollaps

Durch Energieaustausch kann der Kern eines Kugelsternhaufens dichter werden.
Leichte Sterne transportieren Energie nach außen.
Der Kern verliert Energie.
Wenn ein gravitatives System Energie verliert, wird es nicht kälter, sondern zieht sich zusammen und wird heißer.
Das nennt man negative Wärmekapazität.
Im Kern steigen dann:
- Sternendichte
- Begegnungsrate
- Geschwindigkeiten
- Wahrscheinlichkeit für Doppelsterne
Doppelsterne können Energie an andere Sterne abgeben und den Kernkollaps bremsen.

12. Begegnungsrate im Kern

Die Begegnungsrate ist ungefähr proportional zu: $\Gamma \sim n^2 \sigma v$
Dabei ist: $n$ die Sterndichte
$\sigma$ der Wirkungsquerschnitt
$v$ die typische Geschwindigkeit
Wenn die Sterndichte im Kern stark steigt, wächst $\Gamma$ sehr stark.
Beispiel:
Wenn sich die Sterndichte verzehnfacht: $n \rightarrow 10n$
Dann: $\Gamma \rightarrow (10n)^2\sigma v$
$\Gamma \rightarrow 100\Gamma$
Die Begegnungsrate steigt also um den Faktor $100$.

13. Doppelsterne als Energiequelle

Doppelsterne sind in Kugelsternhaufen besonders wichtig.
Ein enges Doppelsternsystem besitzt Bindungsenergie: $E_b = -G\dfrac{m_1m_2}{2a}$
Nehmen wir: $m_1 = m_2 = M_\odot$
$a = 1\mathrm{AE} = 1{.}496 \cdot 10^{11}\mathrm{m}$
Dann: $E_b = -6{.}674 \cdot 10^{-11}\dfrac{(1{.}989 \cdot 10^{30})^2}{2 \cdot 1{.}496 \cdot 10^{11}}$
$E_b \approx -8{.}83 \cdot 10^{38}\mathrm{J}$
Vergleich mit kinetischer Energie eines einzelnen Sterns bei $v = 5\mathrm{km/s}$: $E_\mathrm{kin} = \dfrac{1}{2}mv^2$
$E_\mathrm{kin} = \dfrac{1}{2}\cdot 1{.}989 \cdot 10^{30}\cdot (5000)^2 J$
$E_\mathrm{kin} \approx 2{.}49 \cdot 10^{37}\mathrm{J}$
Vergleich: $\dfrac{|E_b|}{E_\mathrm{kin}} = \dfrac{8{.}83 \cdot 10^{38}}{2{.}49 \cdot 10^{37}}$
$\dfrac{|E_b|}{E_\mathrm{kin}} \approx 35{.}5$
Ein einziges enges Doppelsternsystem kann also eine Bindungsenergie besitzen, die etwa $36$-mal größer ist als die typische Bewegungsenergie eines Sterns im Haufen. Deshalb können Doppelsterne den Haufen dynamisch stark beeinflussen.

14. Sternauswurf durch Begegnungen

Bei engen Begegnungen können Sterne Energie gewinnen und aus dem Haufen entkommen.
Bedingung: $v > v_\mathrm{esc}$
Aus unserem Beispiel: $v_\mathrm{esc} \approx 6{.}5\mathrm{km/s}$
Wenn ein Stern durch eine Begegnung auf: $v = 10\mathrm{km/s}$ beschleunigt wird, ist er ungebunden.
Seine spezifische Energie am Rand ist: $\epsilon = \dfrac{1}{2}v^2 - \dfrac{GM}{R}$
Da: $\dfrac{GM}{R} \approx v_\mathrm{Kreis}^2 \approx (4{.}64\mathrm{km/s})^2$
$\dfrac{GM}{R} \approx 21{.}5\mathrm{km^2/s^2}$ und: $\dfrac{1}{2}v^2 = \dfrac{1}{2}(10)^2$
$\dfrac{1}{2}v^2 = 50\mathrm{km^2/s^2}$
folgt: $\epsilon \approx 50 - 21{.}5$
$\epsilon \approx 28{.}5\mathrm{km^2/s^2}$
Da $\epsilon > 0$, verlässt der Stern den Haufen.

15. Gezeitenwirkung der Galaxie

Ein Kugelsternhaufen bewegt sich in der Gravitation seiner Galaxie.
Die Galaxie übt Gezeitenkräfte aus und kann äußere Sterne aus dem Haufen entfernen.
Der Gezeitenradius kann grob abgeschätzt werden durch: $r_t \approx R_G\sqrt[3]{\dfrac{M_\mathrm{Haufen}}{3M_G}}$
Nehmen wir: $R_G = 10\mathrm{kpc}$
$M_\mathrm{Haufen} = 5 \cdot 10^4M_\odot$
$M_G = 10^{11}M_\odot$
Dann: $r_t = 10\mathrm{kpc}\sqrt[3]{\dfrac{5 \cdot 10^4}{3 \cdot 10^{11}}}$
$r_t = 10\mathrm{kpc}\sqrt[3]{1{.}67 \cdot 10^{-7}}$
$\sqrt[3]{1{.}67 \cdot 10^{-7}} \approx 0{.}0055$
$r_t \approx 0{.}055\mathrm{kpc}$
$r_t \approx 55\mathrm{pc}$
Das bedeutet: Sterne deutlich außerhalb von etwa $55\mathrm{pc}$ können durch die Galaxie leichter vom Haufen abgelöst werden.

16. Verdampfung eines Kugelsternhaufens

Durch viele Begegnungen erhalten einige Sterne genug Energie, um zu entkommen.
Dieser langsame Verlust heißt Verdampfung.
Eine grobe Zeitskala ist: $t_\mathrm{evap} \sim 100t_\mathrm{relax}$
Mit: $t_\mathrm{relax} \approx 1{.}8 \cdot 10^9\mathrm{a}$
folgt: $t_\mathrm{evap} \sim 1{.}8 \cdot 10^{11}\mathrm{a}$
Das ist viel länger als das Alter des Universums.
Aber Gezeitenfelder der Galaxie, Kernkollaps und starke Begegnungen können den Verlust beschleunigen.

17. Warum sind Kugelsternhaufen fast kugelförmig?

Kugelsternhaufen sind annähernd kugelförmig, weil:
- die Gravitation in alle Richtungen wirkt
- die Sterne viele verschiedene Bahnrichtungen haben
- Begegnungen über lange Zeiten Bewegungen durchmischen
- Rotation meist nicht dominant ist
In einer Scheibengalaxie spielt Rotation eine große Rolle.
In einem Kugelsternhaufen ist die zufällige Sternbewegung wichtiger als geordnete Rotation.

18. Vergleich mit einem Planetensystem

Ein Planetensystem ist hierarchisch:
- Sonne dominiert
- Planeten stören schwach
- Bahnen sind fast Keplerellipsen
Ein Kugelsternhaufen ist nicht so hierarchisch:
- viele Sterne haben vergleichbare Massen
- kein einzelner Stern dominiert meist das ganze System
- Bahnen ändern sich durch Begegnungen
- statistische Beschreibung ist nötig
Deshalb ist ein Kugelsternhaufen ein echtes selbstgravitierendes Vielkörpersystem.

19. Schwarze Löcher und Neutronensterne im Kugelsternhaufen

Kugelsternhaufen können kompakte Objekte enthalten:
- Weiße Zwerge
- Neutronensterne
- stellare Schwarze Löcher
- möglicherweise mittelschwere Schwarze Löcher
Massereiche kompakte Objekte sinken durch Massensegregation ins Zentrum.
Wenn dort viele Schwarze Löcher vorhanden sind, können sie Doppelsternsysteme bilden.
Solche Systeme können durch Gravitationswellen Energie verlieren und verschmelzen.

20. Zusammenfassung

Ein Kugelsternhaufen ist ein gravitativ gebundenes Vielkörpersystem mit vielen Sternen.
Wichtige Gleichungen:
- $F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$
- $\vec{F}_i = \sum\limits_{j \ne i}G\dfrac{m_i m_j}{r_{ij}^2}\vec{e}_{ij}$
- $2E_\mathrm{kin} + E_\mathrm{pot} = 0$
- Bahngeschwindigkeit: $v \approx \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$
- Fluchtgeschwindgkeit: $v_\mathrm{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$
- $t_\mathrm{relax} \approx \dfrac{0{.}1N}{\ln N}t_\mathrm{cross}$
- $E_b = -G\dfrac{m_1m_2}{2a}$
- $r_t \approx R_G\sqrt[3]{\dfrac{M_\mathrm{Haufen}}{3M_G}}$
Für das Beispiel mit:
$N = 10^5$
$M \approx 5 \cdot 10^4M_\odot$
$R = 10\mathrm{pc}$
ergibt sich:
typische Geschwindigkeit: $v \approx 4{.}6\mathrm{km/s}$
Fluchtgeschwindigkeit: $v_\mathrm{esc} \approx 6{.}5\mathrm{km/s}$
Kreuzungszeit: $t_\mathrm{cross} \approx 2{.}1 \cdot 10^6\mathrm{a}$
Relaxationszeit: $t_\mathrm{relax} \approx 1{.}8 \cdot 10^9\mathrm{a}$
Bindungsenergie: $E_\mathrm{ges} \approx -6{.}4 \cdot 10^{41}\mathrm{J}$
Die Gravitation bestimmt damit Form, Stabilität, innere Entwicklung, Sternbegegnungen, Massensegregation, Kernkollaps und langfristige Auflösung eines Kugelsternhaufens.