Einsteinsche Feldgleichungen

0. Erweiterung der Gravitation mit den Einsteinschen Feldgleichungen

Die Newtonsche Gravitation beschreibt Gravitation als Kraft: $F_G = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$
Einstein erweitert diese Sicht grundlegend:
Gravitation ist keine gewöhnliche Kraft, sondern die Krümmung der Raumzeit durch Energie, Impuls, Druck und Masse. Die zentrale Gleichung ist: $G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

1. Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie

Newton: Massen ziehen sich durch eine Kraft an. Einstein: Masse und Energie krümmen die Raumzeit. Körper bewegen sich in dieser gekrümmten Raumzeit auf möglichst geraden Linien, sogenannten Geodäten. Ein frei fallender Körper folgt also keiner Kraftbahn, sondern einer Geodäte. Die Bewegungsgleichung lautet: $\dfrac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dfrac{dx^\alpha}{d\tau}\dfrac{dx^\beta}{d\tau}=0$
Dabei ist:
$x^\mu$ : Raumzeitkoordinate
$\tau$ : Eigenzeit
$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ : Christoffel-Symbol
Die Christoffel-Symbole enthalten die Information darüber, wie die Raumzeit gekrümmt ist.

2. Das Äquivalenzprinzip

Das Äquivalenzprinzip ist der Ausgangspunkt.
Träge Masse: $F = m_\mathrm{träge}a$
Schwere Masse: $F_G = m_\mathrm{schwer}g$
Da experimentell gilt: $m_\mathrm{träge}=m_\mathrm{schwer}$
folgt: $ma = mg$ und $a = g$
Alle Körper fallen im Vakuum gleich schnell.
Einstein deutete das so: Ein frei fallender Beobachter spürt lokal keine Gravitation.
Beispiel: In einem frei fallenden Aufzug schweben alle Gegenstände.
Lokal ist das Gravitationsfeld nicht spürbar.
Gravitation lässt sich daher lokal durch ein beschleunigtes Bezugssystem ersetzen.

3. Raumzeitmetrik

In der Speziellen Relativitätstheorie gilt für flache Raumzeit: $ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$
In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird daraus: $ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$
Der metrische Tensor $g_{\mu\nu}$ beschreibt die Geometrie der Raumzeit. Wenn $g_{\mu\nu}$ bekannt ist, kennt man:
- Abstände
- Zeiten
- Lichtbahnen
- freie Fallbewegungen
- Gravitationszeitdilatation
- Schwarze Löcher
- kosmische Expansion

4. Krümmung der Raumzeit

Aus der Metrik berechnet man die Christoffel-Symbole: $\Gamma^\rho_{\mu\nu}=\dfrac{1}{2}g^{\rho\sigma}\left(\partial_\mu g_{\nu\sigma}+\partial_\nu g_{\mu\sigma}-\partial_\sigma g_{\mu\nu}\right)$
Daraus folgt der Riemann-Krümmungstensor: $R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$
Durch Kontraktion erhält man den Ricci-Tensor: $R_{\mu\nu}=R^\rho_{\ \mu\rho\nu}$
und den Ricci-Skalar: $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$
Der Einstein-Tensor ist: $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$
Damit lauten die Feldgleichungen ohne kosmologische Konstante: $R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$
Mit kosmologischer Konstante: $R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

5. Bedeutung der einzelnen Terme

Linke Seite: $G_{\mu\nu}$ beschreibt die Krümmung der Raumzeit.
$\Lambda g_{\mu\nu}$ beschreibt die kosmologische Konstante, also eine Form der Vakuumenergie oder dunklen Energie.
Rechte Seite: $T_{\mu\nu}$ ist der Energie-Impuls-Tensor.
Er enthält:
- Energiedichte
- Impulsdichte
- Druck
- Spannungen
- Strahlung
- Materie
Die Gleichung bedeutet: Materie und Energie bestimmen die Raumzeitkrümmung.
Die Raumzeitkrümmung bestimmt die Bewegung von Materie und Licht.

6. Newtonsche Gravitation als Grenzfall

Einstein muss Newton im schwachen Feld und bei kleinen Geschwindigkeiten reproduzieren!
Für schwache Gravitation schreibt man: $g_{00}\approx -\left(1+\dfrac{2\Phi}{c^2}\right)$
Dabei ist $\Phi$ das Newtonsche Gravitationspotential.
In der Newtonschen Gravitation gilt: $\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho$
Im schwachen Feld ergibt die $00$-Komponente der Einsteinschen Feldgleichungen: $G_{00}\approx \dfrac{8\pi G}{c^4}T_{00}$
Für ruhende Materie gilt: $T_{00}\approx \rho c^2$
Also: $G_{00}\approx \dfrac{8\pi G}{c^2}\rho$
Daraus folgt im Grenzfall wieder: $\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho$
Damit ist Newtons Gravitation als Näherung in Einsteins Theorie enthalten.

7. Beispiel: Gravitationspotential der Erde

Das Newtonsche Potential lautet: $\Phi = -\dfrac{GM}{r}$
Für die Erde: $G=6{,}674\cdot 10^{-11}\dfrac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{kg,s^2}}$
$M_E=5{,}972\cdot 10^{24}\mathrm{kg}$
$R_E=6{,}371\cdot 10^6\mathrm{m}$
$\Phi_E=-\dfrac{GM_E}{R_E}$
$\Phi_E=-\dfrac{6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}972\cdot 10^{24}}{6{,}371\cdot 10^6}$
$\Phi_E\approx -6{,}26\cdot 10^7\mathrm{J/kg}$
Der relativistische Korrekturfaktor ist ungefähr: $\dfrac{2|\Phi_E|}{c^2}$
Mit:
- $c=3{,}00\cdot 10^8\mathrm{m/s}$
- $\dfrac{2|\Phi_E|}{c^2}=\dfrac{2\cdot 6{,}26\cdot 10^7}{(3{,}00\cdot 10^8)^2}$
- $\dfrac{2|\Phi_E|}{c^2}\approx 1{,}39\cdot 10^{-9}$
Das ist sehr klein. Deshalb funktioniert Newtons Theorie im Alltag so gut.

8. Schwarzschild-Lösung

Für eine kugelförmige, nicht rotierende Masse im Vakuum erhält man die Schwarzschild-Metrik:
$ds^2=-\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)c^2dt^2+\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2$
Der Schwarzschildradius ist: $r_S=\dfrac{2GM}{c^2}$
Wenn eine Masse innerhalb dieses Radius komprimiert wird, entsteht ein Schwarzes Loch.

9. Beispiel: Schwarzschildradius der Erde

$r_S=\dfrac{2GM_E}{c^2}$
$r_S=\dfrac{2\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}972\cdot 10^{24}}{(3{,}00\cdot 10^8)^2}$
$r_S\approx 8{,}87\cdot 10^{-3}\mathrm{m}$
$r_S\approx 8{,}9\mathrm{mm}$
Die Erde müsste also auf einen Radius von etwa $9\mathrm{mm}$ zusammengedrückt werden, um ein Schwarzes Loch zu werden.

10. Beispiel: Schwarzschildradius der Sonne

$M_S=1{,}989\cdot 10^{30}\mathrm{kg}$
$r_S=\dfrac{2GM_S}{c^2}$
$r_S=\dfrac{2\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}989\cdot 10^{30}}{(3{,}00\cdot 10^8)^2}$
$r_S\approx 2{,}95\cdot 10^3\mathrm{m}$
$r_S\approx 2{,}95\mathrm{km}$
Die Sonne müsste auf ungefähr $3\mathrm{km}$ Radius komprimiert werden, um ein Schwarzes Loch zu bilden.

11. Gravitationszeitdilatation

In einem Gravitationsfeld vergeht Zeit langsamer.
Für die Schwarzschild-Metrik gilt näherungsweise: $d\tau = dt\sqrt{1-\dfrac{2GM}{rc^2}}$
Für schwache Felder: $d\tau \approx dt\left(1-\dfrac{GM}{rc^2}\right)$
Eine Uhr näher an einer Masse läuft langsamer als eine Uhr weiter entfernt.

Beispiel: Zeitdilatation an der Erdoberfläche

Faktor: $\sqrt{1-\dfrac{2GM_E}{R_Ec^2}}$
Wir hatten: $\dfrac{2GM_E}{R_Ec^2}\approx 1{,}39\cdot 10^{-9}$
Also: $\sqrt{1-1{,}39\cdot 10^{-9}}\approx 1-6{,}95\cdot 10^{-10}$
Eine Uhr auf der Erdoberfläche läuft relativ zu einer weit entfernten Uhr langsamer um ungefähr: $6{,}95\cdot 10^{-10}$
Pro Tag: $\Delta t = 86400\mathrm{s}\cdot 6{,}95\cdot 10^{-10}$
$\Delta t\approx 6{,}0\cdot 10^{-5}\mathrm{s}$
$\Delta t\approx 60\mathrm{\mu s}$
Das ist klein, aber für GPS wichtig!

12. Lichtablenkung durch Gravitation

Einstein sagt voraus, dass auch Licht durch Gravitation abgelenkt wird.
Für Licht nahe einer Masse gilt näherungsweise: $\alpha=\dfrac{4GM}{c^2b}$
Dabei ist $b$ der minimale Abstand des Lichtstrahls vom Massenzentrum.

Beispiel: Lichtablenkung am Sonnenrand

$b=R_S=6{,}96\cdot 10^8\mathrm{m}$
$\alpha=\dfrac{4GM_S}{c^2R_S}$
$\alpha=\dfrac{4\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}989\cdot 10^{30}}{(3{,}00\cdot 10^8)^2\cdot 6{,}96\cdot 10^8}$
$\alpha\approx 8{,}48\cdot 10^{-6}\mathrm{rad}$
Umrechnung in Bogensekunden: $1\mathrm{rad}=206265''$
$\alpha\approx 8{,}48\cdot 10^{-6}\cdot 206265''$
$\alpha\approx 1{,}75''$
Das ist die klassische Vorhersage der Allgemeinen Relativitätstheorie für Licht am Sonnenrand.

13. Periheldrehung des Merkur

In Newtons Theorie wäre die Bahn eines Planeten eine feste Ellipse.
In Einsteins Theorie dreht sich das Perihel zusätzlich.
Die relativistische Periheldrehung pro Umlauf ist: $\Delta\varphi=\dfrac{6\pi GM}{a(1-e^2)c^2}$
Für Merkur: $M=M_S$
$a=5{,}79\cdot 10^{10}\mathrm{m}$
$e=0{,}2056$
$\Delta\varphi=\dfrac{6\pi\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}989\cdot 10^{30}}{5{,}79\cdot 10^{10}(1-0{,}2056^2)(3{,}00\cdot 10^8)^2}$
$\Delta\varphi\approx 5{,}02\cdot 10^{-7}\mathrm{rad}$
In Bogensekunden pro Umlauf: $\Delta\varphi\approx 5{,}02\cdot 10^{-7}\cdot 206265''$
$\Delta\varphi\approx 0{,}104''$
Merkur hat etwa $415$ Umläufe pro Jahrhundert.
Also: $\Delta\varphi_\mathrm{Jh}\approx 0{,}104''\cdot 415$
$\Delta\varphi_\mathrm{Jh}\approx 43''$
Das erklärt die berühmten zusätzlichen $43$ Bogensekunden pro Jahrhundert.

14. Kosmologisches Prinzip

Die Allgemeine Relativitätstheorie wird auf das gesamte Universum angewendet.
Das kosmologische Prinzip sagt:
Auf sehr grossen Skalen ist das Universum homogen und isotrop.
Homogen bedeutet: Es sieht an jedem Ort im Mittel gleich aus.
Isotrop bedeutet: Es sieht in jeder Richtung im Mittel gleich aus.
Diese Annahmen führen zur FLRW-Metrik.

15. FLRW-Metrik

Die kosmologische Raumzeit wird beschrieben durch:
$ds^2=-c^2dt^2+a(t)^2\left(\dfrac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\Omega^2\right)$
Dabei ist:
$a(t)$ der Skalenfaktor
$k$ die Raumkrümmung
$k=0$ flaches Universum
$k=+1$ positiv gekrümmtes Universum
$k=-1$ negativ gekrümmtes Universum
Der Skalenfaktor beschreibt die Expansion des Universums.
Wenn $a(t)$ wächst, dehnen sich kosmische Abstände aus.

16. Friedmann-Gleichungen

Setzt man die FLRW-Metrik in die Einsteinschen Feldgleichungen ein, erhält man die Friedmann-Gleichungen:

Erste Friedmann-Gleichung:
$\left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$
Mit dem Hubble-Parameter: $H=\dfrac{\dot a}{a}$
also: $H^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$

Zweite Friedmann-Gleichung:
$\dfrac{\ddot a}{a}=-\dfrac{4\pi G}{3}\left(\rho+\dfrac{3p}{c^2}\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$
Energieerhaltung: $\dot\rho+3H\left(\rho+\dfrac{p}{c^2}\right)=0$

17. Bedeutung der Friedmann-Gleichungen

Die Expansion hängt ab von:
Materiedichte $\rho$
Druck $p$
Raumkrümmung $k$
kosmologischer Konstante $\Lambda$
Materie bremst Expansion: $\rho>0$
Strahlung bremst noch stärker, weil sie Druck besitzt: $p=\dfrac{1}{3}\rho c^2$
Dunkle Energie beschleunigt Expansion, wenn: $p\approx -\rho c^2$
Für $\Lambda$ gilt effektiv: $p_\Lambda=-\rho_\Lambda c^2$

18. Kritische Dichte

Für ein flaches Universum mit $k=0$ und ohne Betrachtung einzelner Komponenten gilt: $\rho_c=\dfrac{3H^2}{8\pi G}$
Nehmen wir: $H_0=70\dfrac{\mathrm{km/s}}{\mathrm{Mpc}}$
Umrechnung: $70\dfrac{\mathrm{km/s}}{\mathrm{Mpc}}=\dfrac{70000\mathrm{m/s}}{3{,}086\cdot 10^{22}\mathrm{m}}$
$H_0\approx 2{,}27\cdot 10^{-18}\mathrm{s^{-1}}$
Dann: $\rho_c=\dfrac{3(2{,}27\cdot 10^{-18})^2}{8\pi\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}}$
$\rho_c\approx 9{,}2\cdot 10^{-27}\mathrm{kg/m^3}$
Das ist extrem wenig: nur wenige Wasserstoffatome pro Kubikmeter.

19. Beispiel: Hubble-Gesetz

Für kleine kosmologische Entfernungen gilt: $v=H_0d$
Nehmen wir: $d=100\mathrm{Mpc}$
$H_0=70\dfrac{\mathrm{km/s}}{\mathrm{Mpc}}$
Dann: $v=70\cdot 100$
$v=7000\mathrm{km/s}$
Eine Galaxie in $100\mathrm{Mpc}$ Entfernung entfernt sich durch kosmische Expansion mit ungefähr: $7000\mathrm{km/s}$
Das ist keine gewöhnliche Bewegung durch den Raum, sondern Expansion des Raumes selbst!

20. Kosmologische Konstante und beschleunigte Expansion

Die kosmologische Konstante erscheint in den Feldgleichungen als: $\Lambda g_{\mu\nu}$
Sie entspricht einer Energiedichte: $\rho_\Lambda=\dfrac{\Lambda c^2}{8\pi G}$
und einem negativen Druck: $p_\Lambda=-\rho_\Lambda c^2$
In der Beschleunigungsgleichung: $\dfrac{\ddot a}{a}=-\dfrac{4\pi G}{3}\left(\rho+\dfrac{3p}{c^2}\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$
wirkt $\Lambda$ beschleunigend, wenn der letzte Term dominiert.
Das ist das Modell der dunklen Energie.

21. Grössenordnung der kosmologischen Konstante

Nimmt man für die heutige dunkle Energie ungefähr: $\rho_\Lambda \approx 6\cdot 10^{-27}\mathrm{kg/m^3}$
Dann: $\Lambda = \dfrac{8\pi G\rho_\Lambda}{c^2}$
$\Lambda = \dfrac{8\pi\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{-27}}{(3{,}00\cdot 10^8)^2}$
$\Lambda \approx 1{,}1\cdot 10^{-52}\mathrm{m^{-2}}$
Das ist extrem klein, wirkt aber auf kosmischen Skalen.

22. Gravitationswellen

Einstein sagt voraus, dass beschleunigte Massen Raumzeitwellen erzeugen.
Im schwachen Feld schreibt man: $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$
mit: $|h_{\mu\nu}|\ll 1$
Dann ergibt sich näherungsweise eine Wellengleichung: $\Box h_{\mu\nu}=0$
Gravitationswellen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit $c$.
Sie entstehen besonders stark bei:
- verschmelzenden Schwarzen Löchern
- Neutronenstern-Kollisionen
- engen Doppelsternsystemen

23. Schwarzloch-Verschmelzung

Wenn zwei Schwarze Löcher mit je: $30M_\odot$
verschmelzen, kann eine Energie von mehreren Sonnenmassen als Gravitationswellen abgestrahlt werden.
Eine Sonnenmasse entspricht: $E=M_\odot c^2$
$E=1{,}989\cdot 10^{30}(3{,}00\cdot 10^8)^2$
$E\approx 1{,}79\cdot 10^{47}\mathrm{J}$
Wenn $3M_\odot$ abgestrahlt werden: $E\approx 3\cdot 1{,}79\cdot 10^{47}$
$E\approx 5{,}37\cdot 10^{47}\mathrm{J}$
Das ist eine enorme Energiemenge, aber sie erscheint nicht als Licht, sondern als Krümmungswelle der Raumzeit.

24. Gesamtbild: Newton versus Einstein

Newton:
- $F_G=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$
- Gravitation ist eine Kraft.
- Raum und Zeit sind unabhängig.
- Wirkung ist instantan.
- Sehr genau bei schwachen Feldern und kleinen Geschwindigkeiten.

Einstein:
- $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$
- Gravitation ist Raumzeitkrümmung.
- Raum und Zeit bilden eine dynamische Einheit.
- Gravitation breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus.
- Licht wird abgelenkt.
- Zeit vergeht im Gravitationsfeld langsamer.
- Das Universum kann expandieren.
- Schwarze Löcher und Gravitationswellen entstehen natürlich aus der Theorie.

25. Zusammenfassung

Die Einsteinschen Feldgleichungen erweitern die Newtonsche Gravitation zu einer Theorie der gekrümmten Raumzeit:
$R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$
Sie enthalten Newtons Theorie als Grenzfall: $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$
Sie erklären zusätzliche Effekte:
- Gravitationszeitdilatation
- Lichtablenkung - Periheldrehung des Merkur
- Schwarze Löcher
- Gravitationswellen
- kosmische Expansion
Mit dem kosmologischen Prinzip führen sie zur FLRW-Metrik und zu den Friedmann-Gleichungen:
$H^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$
$\dfrac{\ddot a}{a}=-\dfrac{4\pi G}{3}\left(\rho+\dfrac{3p}{c^2}\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$

Damit wird Gravitation nicht nur zur Theorie von Planetenbahnen, sondern zur Grundlage der modernen Kosmologie!